【内容摘要】在数学教学中，恰当合理的变式在不光营造出一种生动活泼、宽松自由的氛围的同时，也是一个知识、方法、经验、思维生长的过程。文章透过一道课本习题，阐述了变式教学的内涵和特征，并通过课例对两线段之和最小值问题所涉及的基本数学思想和变式环节加以说明。从而让我们更深刻的认识到，变式数学教学的关键在于它不仅是数学知识的内部再生长，内容的重构重组，也是学生思想方法经验积累、思维的递进式生长，更是学生思维品质的成长。
【关键词】变式教学、课本习题、环节、案例分析
一、问题提出
数学教学的最根本目标是培养学生能够独立思考问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新意识和创造性的逻辑思维方式；数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，更重要的让学生在学习中学会运用课本的知识达到“举一反三”的效果。于是更新教育观念，提倡实施“变式教学”，在解决问题中不断产生新问题，不断生长新的数学知识、方法、思维、经验。让学生经历知识自主建构、方法感悟提炼、经验不断积累、思维不断提升的过程便尤为重要。
二、变式教学的特征
在课堂教学中，教学方式是多样的，变式教学是一种提高初中数学课堂效率的有效途径。变式教学主要是指对例题、习题进行变通推广，让学生能在不同角度、不同层次、不同情形、不同背景下重新认识的一种教学模式。以知识变式、题目变式、思维变式、方法变式为基本途径，揭示不同知识间的内在联系，暴露问题本质特征，真正做到“做一题，同一类，会一片、得一法”；把学生从“为解题而解题”的题海误区中解放出来，获取课堂效益的最大化，复习方法最优化.
现就以课本习题变式教学，谈谈自己的看法。
（一）习题变式教学的目的
习题变式意从基本问题（基本图形）出发，逐渐增加条件或改变条件（改变图形），过渡到专题的核心内容，在提出问题和解决问题的过程中，引导学生对典型问题（基本图形）进行变式拓展延伸，建立知识的内在（横向、纵向）联系，引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律，达到“知其一，得其多”效果，从而提升学生解决问题的能力和思维品质。
（二）习题变式教学的原则
1、针对性原则。
习题变式教学，不同于习题课的教学，它贯穿于新授课、习题课和复习课，与新授课、习题课和复习课并存，一般情况下不单独成课。因此，对于不同的授课，对习题的变式也应不同。例如，新授课的习题变式应服务于本节课的教学目的；习题课的习题变式应以本章节内容为主，适当渗透一些数学思想和数学方法；复习课的习题变式不但要渗透数学思想和数学方法，还要进行纵向和横向的联系，同时变式习题要紧扣考纲。在习题变式教学时，要根据教学目标和学生的学习现状，切忌随意性和盲目性。
2、可行性原则。
选择课本习题进行变式，不要“变”得过于简单，过于简单的变式题会让学生认为是简单的“重复劳动”，没有实际效果，而且会影响学生思维的质量；难度“变”大的变式习题易挫伤学生的学习积极性，使学生难以获得成功的喜悦，长此以往，将使学生丧失自信心，因此，在选择课本习题进行变式时要变得有“度”，恰到好处。
3、参与性原则
在习题变式教学中，教师要让学生主动参与，不要总是教师“变”，学生“练”。要鼓励学生大胆地“变”，有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，可以帮助学生使所学的知识点融会贯通，同时培养了学生的创新意识和创新精神以及举一反三的能力。
三、习题变式教学例析
在此，以八年级课本习题中，以两线段之和最小值为例。
1、提炼模型，抓住思维本质。
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问题1：如图1所示，将军从山脚A处骑马出发，先到河边L处饮马，最后回到营地B。请问怎样选择饮马地点P，才能使马所走的路程最短？请画出示意图。
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问题2：如图2所示，将军从山脚A骑马出发，先到河边L处饮马，最后回到营地B。请问怎样选择饮马地点P，才能使马所走的路程最短？请画出示意图。
学生独立思考回答问题，在此基础上教师追问：你画出的路程最短示意图的根据是什么？问题1和问题2能否提炼出简单的几何图形？
学生在教师的启发下，将问题1和问题2抽象成如图3、图4所示的基本图形（基本模型）。
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【设计说明】：以“将军饮马”问题为情境，让学生感受生活处处有数学，从而激发学生的学习兴趣，在探寻路程最短画图过程中经历现实问题数学化的过程，同时从两个问题中抽象出两个数学基本模型（图3，图4，以下简称为模型1，模型2），理解模型本质，体现模型思想。在模型2提炼过程中，学生感受到“化同为异”，“化折为直”的思想。
2、应用模型，探寻思维发散点
问题3：如图5，?ABC中，AB=AC，AD，CE是?ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP+EP最小值的是（ ）
A、BC B、CE C、AD D、AC
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【设计说明】：由于?ABC是等腰三角形，学生很容易直接应用模型2解决问题。关键是让学生发现应用模型2求两线段之和最小值的基本策略是确定哪两个是定点、哪一个是动点，对称轴是哪一条。
问题4：根据模型2 ，还可变式出求两条线段之和最小值问题的基本图形。学生可以查找资料，独立创编，组内交流，然后小组派代表展示。得到如下变式题型。
变式1：如图6，?ABC是边长为6的等边三角形，AD是BC边上的高线，E是AC边上的中点，P是AD上动点，试求PC+PE的最小值。
变式2：如图7，在菱形ABCD中AB=5，BD=8，点P，Q分别在BD，AD上，求AP+PQ的最小值。
变式3：如图8，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为多少？
变式4：如图9，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B
为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，求PA+PB的最小值。
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由此，从不同图形中呈现应用模型2解决两条线段之和最小值问题。图6，图7的，图8，图9，图10，图11 为典型问题的主要示意图。
在变式训练时，追问：模型2在不同图形中应用，要抓住那些关键要素？（定点、动点、对称轴）
【设计说明】：由模型2出发，改变以往教师提出问题，学生解决问题的方式，而由学生自主创编求两条线段之和最小值问题。一方面，激活思维动力，由基本模型不断拉长思维链，培养学生发现问题和提出问题的能力；另一方面，以模型为载体，建立相关三角形，特殊四边形、圆、二次函数等核心知识链接，进一步深化模型，理解本质，领悟化归思想，积累识别、应用模型的经验。
3、拓展模型，拉长思维链
问题5：如图12，已知平面直角坐标系中，点A(2，-3)，B（4，-1），
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①若P(p,0)是x轴上的一个动点。当P为多少时，?PAB的周长最短。
②若P(a,0),Q(a+3,0),是x轴上的两个动点，则当a为多少时，四边形ABQP的周长最短。
③设M,N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m,0）,N(0,n),使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m,n的值，若不存在，请说明理由。
学生在解决第②题时，思维会受阻，教师可适当点拨，P(a,0),Q(a+3,0)虽然是动点，但PQ长是定值，能否把两动点问题转化为一动点问题，能否转化为模型2 解决。
设计说明：设计层层递进问题串，体现层次性特征，有利于激发学生深度思考。模型2在平面直角坐标系中，从“两定一动”到“两定两动”，拉长了思维链，同时“两定两动”，又化归到“两定一动”基本模型发现“变中不变”“不变中变化”的规律，拓展学生思维，理解模型本质。
问题6：如图13，A和B两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路程（即AM+MN+NB）最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
设计说明：首先引起学生认知冲突，打破思维定式，应用模型2解决问题未能成功，其次，顺应思维连贯性，在解决问题5第②题时，将两动点P，Q转化为一动点的模型2解决，因为P，Q两点虽动，但PQ长是定值。类比问题5第②题，桥址的两个端点未定，但两端的距离是个定值（河宽），也可以将桥址的两个端点通过平移变为一个点，然后利用模型1就能顺利解决。通过学习、研究、拓展“将军饮马”问题出发，让学生思维从低阶向高阶转换，提升了学生的思维品质。
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教育的出发点与落脚点就是让学生经历一种成长、见证一种成长。变式数学教学的关键在于它不仅是数学知识的内部再生长，内容的重构重组，也是学生思想方法经验积累、思维的递进式生长，更是让学生的思维品质再成长。
参考文献
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