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摘要：塑性力学中用应变增量表述弹塑性材料本构关系的理论，也称塑性流动理论。弹塑性材料的本构关系与应变和应力的历史有关，因而弹塑性材料的应力和应变之间没有一一对应关系。为了反映变形的历史，本构关系须以增量形式给出。
关键词：塑性力学；应力应变关系；塑性增量；Drucker-Prager
1引言
弹塑性力学是研究物体在荷载（包括外力、温度变化或边界约束变动等）作用下产生的应力、变形及承载能力。上述问题都可归结为一组偏微分方程和边界条件，求解这些方程就可得出定量的解答。任何物体在荷载作用下都将产生变形。通常随着荷载的增大，材料变形可由弹性阶段过渡到塑性阶段。实际上，弹性阶段与塑性阶段是整个变形过程中的两个连续阶段，且结构内部可能同时存在弹性区和塑性区。
传统的塑性增量理论表达金属等材料的本构关系时主要考虑以下几个方面：（1）存在一个不变的正定的弹性矩阵，联系应力和弹性应变；（2）屈服函数（或加载函数）作为塑性势函数，即采用关联的流动法则；（3）变形过程中加载面向外扩大或保持不变，即符合应变硬化或理想弹塑性变形规律。
2、塑性应力应变关系
塑性应力应变关系的重要特点是它的非线性性和不单一性，所谓非线性性是指应力应变不是线性关系，所谓不单一性是指应变不能由应力单一确定。由于这一点，描述塑性变形的方程式原则上不能由应力分量和应变分量的有限关系式相联系律的关系式中那样，而必需是微分关系式。以微分形式表示的增量理论是经典塑性力学应力应变关系的最具普适性的形式，它不同于全量理论形式的应力应变关系只适用于简单加载的情况，而是既适用于简单加载又适用于复杂加载。
Drucker-Prager模型是指描述试样加载过程中，描述应变强化及软化段的模型。它可叙述为：处于某一初始应力状态下的材料单元，借助一个外部作用，在原有的应力状态上缓慢地加上一组附加的应力，然后卸除，则在附加应力作用过程中，以及在附加应力作用与卸除的一个循环内，外部作用所作的功是非负的。
其完整模型由屈服面函数、流动势函数、破坏面函数等构成。其中，Drucker-Prager模型的屈服面函数与破坏面函数都是由Drucker-Prager准则函数构成的。加载过程中由线弹性段到达初始屈服点，此时满足屈服准则，之后进入塑性流动段，之后一直处于屈服状态。
3、屈服准则
Drucker-Prager 准则可以理解为米泽斯准则的简单修正，它主要考虑了静水压力对屈服的影响。广义 D-P 强度准则大量岩土类材料的试验结果分析表明在某一静水压力作用下，偏平面上的破坏曲线一般在 D-P 准则圆内，在M-C准则外包线SMP 准则曲线之外（如图所示），即SR ≤ R，β≤D-PR，图中β曲线表示在某一静水压力条件下SMP 准则曲线和D-P准则曲线所反映的强度的某种线性组合。
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σ、ε、s 和 e分别为应力、应变、偏应力和偏应变张量，p 和vε 分别为平均应力和体积应变。把时间 t 离散，用下标 n（n =0，1，2，…）表示不同时步。令0t =0，n +1时步的时间增量记为
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，n +1 时 步 的 偏应力增量记为
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，其他参量类同。把应变增量分解为弹性和塑性应变增量两部分：
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隐式方法不需要子增分或手动回归方法也能获得充分正确的解，并无条件稳定。但是对于一般的屈服准则需要在高斯点反复计算。隐式方法可以构成具有关联性的切线刚度矩阵。当使用Newton-Raphson迭代计算方法时，在高斯点进行迭代计算的效率也是较高的。
4、基本方程
4.1、弹性变形过程分析
为了获得与一般加载阶段相关的结构中的应变和应力，必须沿着加载路径集成等式。最直接的方法是使用一点欧拉前向积分规则。这种方案是完全明确的：硬化模量h的应力和值在应变增量开始时是已知的，因此可以直接评估切向刚度矩阵。如果初始应力点 在其轮廓上，则应力增量可以计算为：
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如果应力点最初位于屈服轮廓内，则总应变增量必须分成纯弹性部分，即使应力点到达其表面所需的部分，应力增量计算如下：
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对于该计算，应力的初始位置是在内部还是在当前屈服面上是无关紧要的。这种应力增量可以被认为是试验应力增量，其依赖于在负荷增量期间纯弹性行为的假设。在此试验步骤中不考虑可能的塑性应变。
4.2、塑性变形过程分析
Drucker-Prager模型是指描述试样加载过程中，描述应变强化及软化段的模型。塑性变形通常改变屈服面的大小、形状和位置（见强化规律），这时要用加载面（又称后继屈服面）来判断一点的应力状态是否达到了塑性状态。如果材料在从一个塑性状态变化到另一个塑性状态的过程中产生新的塑性应变，则这个过程称为塑性加载（简体加载）；如果从某个塑性状态转到某一弹性状态的过程中并不产生新的塑性变形，则这个过程称为卸载；如果材料从一个塑性状态转到另一个塑性状态，而应力增量不引起塑性应变的变化，则这个过程称为中性变载。由于在加载、卸载和中性变载过程中弹塑性介质的本构方程具有不同的形式，所以必须给出一个判断加载、卸载和中性变载的准则。
双曲线 D-P 塑性模型的屈服函数为
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式中：ϕ 为内摩擦角；为广义剪应力；l0可由 d 的初值 d0等参数计算，d 为与硬化相关的参量。
双曲线与D-P 塑性模型的接近程度与 l0的大小有关。该形式与双曲型的屈服函数（双曲线 M-C 屈服函数）类似，当该小数取 0.01 时，运用线性和双曲线 M-C 屈服函数所得的结果很接近。当参数取为 0.0001 时，计算结果几乎没有差别。虽然双曲线型的屈服函数计算过程复杂，但保证了屈服函数的连续性，使得在应力接近于屈服面锥顶时，避免了应力返回算法难以收敛的问题。把屈服函数和势函数写成一般形式为
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式中：η =tanψ，ψ 为剪胀角；m0为与子午面上的偏心率等变量相关的参数。本文 l0和m0均取较小的正数，以便更好地接近于线性屈服函数。
一些常用的屈服函数允许显式地表达
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而言，简化了程序的解决方案一个非线性方程。一个例子是将（非关联）流动规则与Drucker-Prager塑性势代入各向同性硬化的Drucker-Prager屈服函数：
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应变分解为黏弹性和塑性两部分，考虑黏弹性应变历史，导出了黏弹性问题在一个时间步长内逐段线性化的、增量递推形式的本构方程，定义了与弹性问题相对应的、与时间增量相关的剪切模量和体积模量，使得黏弹-塑性问题的应力更新算法简单化。
5、总 结
塑性模型是由弹性模型与塑性元件串联而成，与黏塑性模型的区别在于塑性流动与时间的不相关性，其塑性力学参数采用常规方法即可简单确定。
欧拉向前、向后迭代计算方法在弹塑性力学中应用非常广泛的。然而随着研究的不断深入，各种更为精确和更为符合实际的计算模型及理论也在被不断的提出。