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从特殊到一般思想方法在解决数学问题中的应用

发表时间：2020/3/3 来源：《中小学教育》2020年第400期作者：李朝敏

[导读] 本文从四个方面论述了从特殊到一般思想方法在解决数学问题中的具体应用。

陕西省咸阳市武功县河道乡初级中学　712202
        摘　要：从特殊到一般思想方法是一种重要的解题策略，同时也是一种重要的思维方法。本文从四个方面论述了从特殊到一般思想方法在解决数学问题中的具体应用。
        关键词：数学思想方法　特殊化　不完全归纳法
        现实中，人们在对某个一般性的数学问题解决有困难时，常常会想到先解决它的特殊情况，然后再把解决特殊情况的方法或结果推广到一般问题之上，从而获得一般性问题的解决。这种从特殊到一般的数学思想方法也称之为特殊化方法，它作为一种化归策略，在解决数学问题中有着广泛的应用，其基本思想却很简单：相对于“一般”而言，“特殊”问题往往显得简单直观和具体，容易解决，并且在特殊问题的解决过程中，常常孕育着一般问题的解决。
        现在通过实例论述从特殊到一般的数学思想方法在解决数学问题中的具体应用。
        一、在指示数学解题方向中的应用
        众多数学问题都具有各自的特殊性，依据“普遍性存在于特殊性之中”的普遍规律，把那些题目的结论不明确，通过“退”即将问题的条件特殊化，找到结论，从而明确解题方向。运用这种特殊化能使这类问题的解法变得简洁、明快。
        例1：如图，设△ABC三边上的高分别为ha,hb,hc,△ABC内的任一点P到三边BC、CA、AB的距离分别是da,db,dc，则　＋　＋　为定植。

        　　　　　图１　　　　　　　　　　图2
        分析：当△ABC为任意三角形时，难以确定　＋　＋　的值。现设原命题为真，即　＋　＋　为定值成立。将条件特殊化，设△ABC为正三角形，则　＋　＋　为定值也必定成立，如图，在正△ABC中，由P的任意性，取P为垂心H，依据正三角形四心合一的性质知　＋　＋　＝　，从而预测　＋　＋　=1（定值）。
        证明：连结PA、PB、PC，在△ABC和△PBC中，BC为同底（图1），∴　＝　　，同理，　＝　　，　＝　　，将此三式相加得　＋　＋　=1，原命题成立。
        二、在一般性命题检验中的应用
        由于一般性总是寓于特殊性之中，所以命题在特殊情形下为假，则它在一般情况下也假，从而通过特殊化就能达到对命题结论的检验和判断。我们往往从问题的特性入手，考察合乎条件的特殊情形，比如：特殊植、特殊位置、特例等进行特殊化处理。
        例2：已知f(θ)=sin2θ+sin2(θ-α)+sin2(θ-β)，其中α，β是常数，且α，β∈[0,π]，α＜β,求α，β使f(θ)为与θ无关的定值。
        分析：本题仅当α，β取某个定值时，f(θ)才θ与无关，不妨让一般的θ取特殊值。
        解：f（0）=sin2α+sin2β，f（　）=1+cos2α+cos2β，f（-α）=sin2α+sin2(α-β)，f(-β)=1+sin2β+sin2(α-β)，∵f（θ）与θ与无关，∴f（0）=f（　）=f（-α)=f（β)，解得当α=　,β=　时，f（θ）显然与θ无关。
        三、在归纳猜想或推广命题中的应用
        一般性的数学问题不易解决时，常将它化为特殊情形来处理，通过个别、特殊情况的分析探路，归纳猜想可得出一般性结论或解题思路，并加以理论证明，以使问题获得解答。数学的发展也充分显示出这一点。
        例3：平面上n条直线交点个数的最大值。

        n=4交点个数为1+2+3　 n=5交点个数为1+2+3+4
        通过图我们可归纳平面上n条直线的最多交点个数是：1+2+3+…＋（n+1）=　　　。
        例4：设a1=cotx,an=an-1cosx-sin（n-1）x（n∈N），试求数列{an}。
        分析：这是一个结构比较复杂的求数列的通项公式的问题。不妨先考察数列的前项有：a1=　　，a2=a1cosx-sinx=cotx•cosx-sinx=　　　　　　=　　　，a3=a2cosx-sin2x=　　　　　 -sin2x= 　　。
        不难发现，数列的前三项都可以用一个分式来表示，它们的分母均为sinx，而分子是cosnx，由此可以猜想：an=　　　（n∈N），数学归纳法可证明猜想是正确的。
        综上我们可以看到，从特殊到一般的数学思想方法在解决数学问题中有着广泛的应用，它是一种重要的“以退为进”的解题策略。