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浅谈二次函数在区间上的最值问题

发表时间：2020/1/7 来源：《中小学学校管理》2019年4月总第168期作者：马锋战

[导读] 在这三大因素中最容易确定的是开口方向，而对所给区间与对称轴位置的讨论时解决问题的关键。

陕西省乾县杨汉中学　713300
　　二次函数是中学数学中的重要函数，也是高中（必修一）教材的难点与重点问题，对与刚进入高中的学生来说这类问题很难处理，尤其是这个问题涉及数学的一个重要的思想“分类讨论思想”。如果学生的思路不清，学生要么无从入手，要么丢三拉四，从而又导致遗漏、考虑问题不够全面。再者它的性质及应用是高考的重点考查内容。根据我个人多年的教学经验，现谈一下具体的求解方法，希望能够帮助学生解决这一问题。二次函数的最值问题分为三类：一、区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数；二、区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；三、对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值。不论是哪一类问题归根影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置。在这三大因素中最容易确定的是开口方向，而对所给区间与对称轴位置的讨论时解决问题的关键。
　　一、定轴定区间
　　这类问题，一般不含参数，也不需分类讨论，所给区间是确定的，其对称轴位置也确定，则只要先考虑其对称轴横坐标是否在给定区间内，当对称轴横坐标在给定区间内时，其一个最值在顶点取得，另一个最值在于顶点横坐标距离较远的端点取得；当对称轴横坐标不在给定区间时，可利用函数单调性确定其最值。
　
　　【变式训练】不等式x2－2mx-1>0在[1,3]内恒成立，求实数m的取值范围。
　　解：设f(x)=x2－2mx-1,则对称轴x=m，△=4m2+4>0，由题意，只需在x∈[1,3]内f(x）min>0，（1）当m<1时，f(x）min=f(1)=-2m>0,则m<0.（2）当1≤m≤3时，f(x）min=f(m）=-m2-1>0，无解，m∈ （3）当m>3时，f(x）min=f(3)=8-6m>0,即m< 34，故m∈ . 综上所述：m<0。
　　四、方法总结
　　1.二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，且它们只能在区间的端点或二次函数图像的对称轴上取到。
　　2.解决含参数的二次函数的最值问题，需先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋的形式，再依a的符号确定抛物线开口的方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图像确定最大或最小值。