叶利辉
安徽省黄山市歙县城关小学 安徽黄山 245200
“植树问题”中蕴涵着许多的数学思想，如数形结合、以简驭繁、一一对应等，个人觉得，其中最重要的就是“一一对应”。可以这么说，“植树问题”的本质就是对应问题，一旦明确了“间隔”与“树”这两者之间的对应关系，再以此为基础并通过适当变化就可以应对各种变化了的情况。
一、“对应”解题，激活思维
【教学片断】
师：同学们，今天咱们要研究的是？
生：植树问题。
师：你们怎么知道的？
生：课件上有课题和授课老师的信息。
师：老师要表扬你们，因为善于观察和发现是数学学习的好习惯。下面接着考验大家，仔细看大屏幕，你们了解到哪些信息？（课件上出现许多无序、凌乱的太阳和月亮，大约2秒后迅速隐去）
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生：太阳多。
师：多几个？
生：太阳比月亮多3个。
师：为什么现在你们能这么斩钉截铁地给出答案呢？
生：因为开始的时候很乱，而现在是有序的，有规律的，上面是太阳，下面是月亮，一个对着一个，还有3个太阳下面没有月亮对着，所以，就多了3个太阳。
师：听明白了吗？
生：明白了。
师：刚才这位同学在描述中用到了“有序”和“规律”这两个词（板书）。一起来看，规律就是……（师对照课件比划）
生：一个太阳对一个月亮，一个太阳对一个月亮。
师：对到最后，怎么了？
生：还有3个太阳没有月亮对，所以太阳多3个。
师：请同学们接着来看。（课件出示一横排太阳月亮图——1个太阳1个月亮，1个太阳1个月亮，中间用“……”，最后由太阳结尾。）
现在呢，谁多？多几个？
生：太阳比月亮多1个。
师：你们能确定太阳和月亮的具体数量吗？
生：不能。
师：中间的“……”是什么意思？
生：省略了一部分太阳和月亮。
师：能确定这一部分的数量吗？
生：虽然不能，但能确定太阳比月亮多一个。
师：为什么？
生：因为有这样的规律——太阳和月亮是一组的，1个太阳后面会跟着1个月亮，最后1个太阳后面没有月亮跟了。
师：用前面同学的话说，就是太阳和月亮是一组，是对应的，我们把这样的对应叫作“一一对应”。
……
【教学思考】
“一一对应”思想并不是“空中楼阁”，学生早有接触与感知，怎么唤醒学生的潜在思维记忆，怎样向学生传递“一一对应”思想才不会显得突兀呢？
1.设置“比较”情境，让“一一对应”思想的应用顺理成章。
比多少，学生非常熟悉，但太阳和月亮的比较并不“简单”，不比眼力、不比数感、设置此环节的目的不止于比出结果，还在于数学思想方法的有效运用。3次比较，图形由少到多，数量从确定到不确定，呈现形式由凌乱、随机到规律、有序，学生对结果的判断从盲目猜测到有理有据，情境简单，但实效明显，激活潜藏于学生心底的思维记忆。
2.探寻“对应”规律，为灵活应用夯实基础。
从找规律到构建数学模型，再到应用模型，这是本节课设计教学的整体构思。在从“无序”到“有序”的对比中发现规律，通过解释说理来找寻“对应”关系，当学生发现“一个太阳一个月亮是一组”“一个跟着一个”时，太阳和月亮的具体数量是多少已不重要，“……”处省略了多少个太阳和月亮也已不重要，这样，将复杂的现象简单化，渗透“化繁为简”的数学思想，为下一环节构建模型和根据实际情况灵活应用夯实基础。
二、数形结合，构建模型
【教学片断】
课件出示题目：在全长20米的小路一侧植树，每隔5米植一棵，要植多少棵？
师：自由读题，你能获取到哪些数学信息？
生：小路长20米，5米植一棵树，问要植多少棵树。
师：对了，20米就是路长（板书：路长），怎么植树？5米是？
生：植树的间隔。
师：也就是每个间隔的长度（板书：间隔长度）。按照这样的要求，一共要植多少棵树？有结果了吗？分享一下。
生：要植5棵树。
师：说说算式。
生：20÷5+1。（师板书）
师：20÷5得？
生：4。
师：4表示的是？
生：是指20米的路，5米一个间隔，可以分成4个间隔。
师：可以看作是间隔数。为什么要“+1”呢？
生：因为开头还有1棵。
师：请你在黑板上将自己的植树方案画下来。（生在白板课件上画）
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师：4条线段表示4个间隔。树植在哪？
生：每个间隔的开头和末尾的位置。
师：树植在间隔的起始和结束的位置，一前一后，可以叫作间隔点。一共植了5棵。大家都同意这位同学的植树方案吗？
生：同意。
师：我们就去现场看看，准备植树吧。
真是抱歉，由于前期老师没有去实地勘探地形，出现了新情况。在路的起始位置有一座房子（课件上演示），怎么办，现在需要植几棵树？
生：4棵。
师：有房子的地方还植吗？
生：不植了。
师：一棵一棵往后植，到了最后，又发现了一个问题，路的尽头有一个水塘，还植吗？
生：不植了。
师：路的一头有房子，另一头有水塘，要植几棵树？
生：3棵。
师：我们再来捋一捋（课件集中展示3种植树方案），第一种方案植5棵树，如果一头有障碍物，植4棵，如果两头有障碍物，植3棵。
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师：比较这3种方案，有没有共同点？
生：有。路长是一样的，间隔长度和数量也是一样的。
师：请再思考，在上面的3种情况中，有没有像课前我们分析的，如“太阳和月亮”那样的对应关系？
生：有，间隔和树对应。
师：谁来对照图说说看。
生：第一副图，一棵树对应一个间隔，一棵树对应一个间隔，最后一棵树没有间隔对了。
师：说明树比间隔……
生：树比间隔多1。
师：是的，间隔的数量4个，树的棵树是5棵。所以可这样列式解决：20÷5+1。
生：第二幅图中，从前往后看，一个间隔对一棵树，刚好对完。
师：因此，有4个间隔，就要植……
生：植4棵树。
师：同学们，想想看，房子的位置可能在前头，是不是也有可能在后头？这种情况下又有什么样的对应关系呢？
生：如果是这样，从前往后看，一棵树对一个间隔，一棵树对一个间隔，也是刚好对完。要植的树和间隔是一样的。
师：是的，树与间隔依然是一一对应，没有多余的。
生：如果两头都有障碍物，间隔对树，间隔对树，最后会多一个间隔。
师：那么植几棵树呢？
生：树比间隔数要少1，要植3棵树。
师：看来，植树看似简单，却也是个“技术活”，该怎么植，得看具体情况。
……
【教学思考】
路长、间隔长度、间隔数的关系，间隔与植树棵树的关系，是植树问题教学中不可不讨论的两个问题。如何讲？讲到什么程度？是不是要分三种情况（两端栽、只栽一端、两端不栽）一一总结算式，之后让学生熟记，解决实际问题时进行机械化的套用？
1.数形结合，重在说理
先说后画，通过画图验证想法，画好再说，借助图形来概括关系，数形结合是引导学生构建植树模型的必要载体，辨析说理是强化模型的有效手段。我们不能满足于学生得出“20÷5+1”这样的计算结果，而是要说清楚“20÷5”是什么？为什么要“+1”，“加在哪”？一段时间后，学生或许会忘了几个相关公式，却仍然可以借助画图来找到解决方法，这可能也是数学学习除去知识以外最重要的东西。
2.讲清根本，适时分类
植树问题教学，三种模型的区分不可避免，因为分类是科学研究的基本方法。但个人觉得不宜在课始就强化对三种情况的区分，因此，教学以一个开放问题——“在全长20米的小路一侧植树，每隔5米植一棵，要植多少棵？”来展开，学生考虑哪种情况都顺其自然，在学生分享“两端都栽”这种普遍情况时，顺势引导分析路长、间隔长度、间隔数之间的数量关系，这是学生已有的数学经验，难度不大，“教学楼”、“水塘”的出现既是“预设”，也可“随机”，是影响结果的“变数”。三种情况有联系，路长相同，间隔长度不变，所以间隔数是一样的，区别在于要考虑影响植树的“障碍物”的实际情况。
三、以简驭繁，固化模型
【教学片断】
出示习题1：在全长1000米的小路一侧植树（两端都栽），每隔10米植一棵，要植多少棵？
师：先思考，再画图，找对应关系，和同学分享你的发现。
生：开头先种一棵树，然后，一棵树对应一个间隔，为了节约时间，我在画图时，中间省略了许多树和间隔，到最后多了一棵树。
师：结果是要植多少棵树呢？
生：因为一一对应之后多一棵树，所以算出间隔数再加1就行。
师：看来，虽然路长更大了，间隔长度也跟之前不一样了，但解决方案还是一样的，我们可以借助“画图”，找准对应关系后，作出正确的判断。
出示习题2：学校要绿化校园，要在校园一侧的小路植树，小路全长120米，每隔5米植一棵（教学楼的墙根不植树）。
师：读懂信息了吗，怎么植？
生：小路的一端有教学楼，不植树。
师：审题细心。老师还有补充条件，请看，将植树任务按路长平均分给五年级3个班（按班序轮流完成），每班各植多少棵树？
生开始思考、小声讨论。
师：我们一起来分析一下，1班植树的路长是多少？
生：40米。
师：2班？3班呢？
生：都是40米。
师：3个班负责植树的路长都是40米，那3个班植树的棵树应该就是一样的？
生：不一样。
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师：哪不一样？
生：3班负责的40米里有教学楼，根据要求，墙根不植树，所以3班少植一棵。
师追问：那1班和2班应该植树棵树应该就是一样的了？
生：是。
生（质疑）：不是。
师：那好，咱们一起来看看，每个班都是从哪开始植树，又是到哪结束的
（指名学生对照课件图先说1班从哪开始，到哪结束，再说2班和3班）。
生：1班从小路的起点开始植树，要植到40米的地方。1班完成后，2班接着植树，2班负责的路长起点就是1班的终点，因为已经植过了，所以2班起点处不植树，2班到了40米还是要植的，3班的起点被2班植过了，终点又是教学楼，因此，3班负责的路段，起点和终点都不用植树。
师：这位同学分析地很清楚，看来，3个班植树的棵树可不一样哦，分别是多少呢？拿起纸笔算算看吧，如果有困难，也可以再分别画画图。
……
【教学思考】
为检验学习效果，在引导学生构建模型之后，进入即时练习阶段，两个练习，梯度明显，用意不同。
1.以小见大，举一反三。
从在20米的小路植树，再到1000米的小路植树，间隔长度也从5米扩大到10米，其实他们都有着共同的模型，变化的是数据，不变的是方法，学生作图时用“……”略去了中间的树与间隔，抑或又是以后将会呈现的其它各种不同数据。通过“画简图——找对应关系——解决问题”，可以引导学生固化模型，同时培养学生举一反三，灵活解决实际问题的能力。
2.加强比较，打通关联。
有别于分三种类别的“专项”练习，设置“3个班在小路全长120米的小路上轮流种树”这一练习，显得更为巧妙，3个班，同样的路长与间隔，不同的植树模型与结果，综合性更强，思维难度也更大，不再是简单、机械的“对号入座”。题目一出，学生们争先恐后地发表意见，集中呈现的优势在于方便比较，沟通联系，形成整体的认知，从肯定到质疑，从直观到理性，观点在交融，思维在碰撞，方法在优化。
四、集中梳理，丰富模型
师：同学们，一一对应的思想，在我们的生活当中，其实有着广泛地应用，一起来看图片。
师：（出示手掌图片）有一一对应吗？
生：有。
师：谁和谁对应，说说看。
生：手指对间隔。
师：哦，一根手指对一个间隔，一根手指对一个间隔，对应之后……
生：对完之后，多一根手指。
师：是的，我们习惯地叫做”五指四空“。
师：（出示队列图片）有一一对应吗？
生：有，一个人对应一个点。
师：对的，一人一点，这也是一一对应的。人和间隔有对应关系吗？
生：一个人对应一个间隔，一个人对应一个间隔，对完之后，多出一个人，也就是人比间隔多1个。
师：像这样，有对应关系的例子还有很多，我们接着来看，图片依次出现“爬楼问题”，抑或“锯木问题”、“路灯问题”等图片并分析其中的对应关系。
……
【教学思考】
学生以前就接触过一些与植树问题有着相似的模型结构的问题，如“爬楼问题”、“锯木问题”等等，只是囿于学生的知识基础与思维水平，不宜进行集中提炼，此时此刻，适时进行拓展，有利于丰富模型。通过集中梳理，便于引导学生基于植树模型，同时超越植树情境，打通认知联系，经历从诸多实际问题中抽取出植树问题模型的过程，帮助他们提升思维水平，达到灵活解决问题的目的。
作者信息：叶利辉，男（1981.1－），汉族，安徽省黄山市人，本科，中小学一级教师；
研究方向：小学数学教育教学；