杨津听1，王凯2，徐露2，梁增伟2，刘维林3
（1、昆明电器科学研究所 云南 昆明 650221
2、云南中咨海外咨询有限公司 云南 昆明 650050
3、云南技师学院 云南 昆明 650300）
摘要： 研究了基于Morlet复小波变换的弱非线性系统识别方法。用Morlet复小波变换对弱非线性系统自由振动响应进行分析，通过小波脊线对应的尺度和脊线上的小波系数识别其瞬时频率和瞬时振幅，由识别的瞬时振动参数进一步识别弱非线性系统的固有频率、阻尼系数和非线性系数。
关键词：参数识别 非线性系统 钢筋混凝土梁 混凝土框架结构 小波变换
一、引言
梁是工程中常见和大量使用的结构构件，通常认为其纯弯曲微幅振动是线性的，而实际上梁都是非线性的。对于钢筋混凝土梁而言，钢筋混凝土是一种弹塑性材料，材料的非线性必然导致梁的非线性。弱非线性系统如杜芬系统其非线性的一个重要特点为其自由振动频率随着振幅的变化而变化，因此通过识别频率随振幅的变化规律就可以得到弱非线性系统的结构参数。传统的时域和频域分析难以全面反映信号的时频特性，信号的时频分析方法为非线性系统的识别提供了一条新途径。Morlet小波是一种常用的复小波函数，能提取被分析信号的幅值和相位信息，即能提取信号的瞬时振幅和瞬时频率。
二、Morlet复小波变换
复解析小波Morlet小波：
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（式1）
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（式2）
当ω≥5时，上述2式满足小波容许条件，它在时域和频域均具有较好的局部性，频率f与尺度a之间的对应关系为：
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（式3）
其中：fs为信号的采样频率，*表示卷积运算。
对于实值信号x(t)，可以定义一个与之相关的复值信号：
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（式4）
为的希尔伯特变换：
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（式5）
信号的瞬时振幅和瞬时频率可定义如下：
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（式6）
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（式7）
其中，arg(xa(t))表示xa(t)的相位角。瞬时振幅和瞬时频率给出系统的时变特性，按上面的定义可以直接由信号的希尔伯特变换估计，但由于希尔伯特变换对噪声很敏感，限制了瞬态参数的估计精度。如果用解析小波对实值信号x(t)进行小波变换，小波系数为一复数，且虚部为实部的希尔伯特变换。即：
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（式8）
小波系数的模：
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（式9）
在尺度a上小波系数的相位：
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（式10）
小波系数的模表示信号能量的分布，小波系数的相位对时间的导数即信号的瞬时频率。
三、基于复小波变换的瞬态参数提取
设一渐进单频信号，利用希尔伯特变换可以得到其复值信号，选择具有渐进形式的解析小波对信号x(t)进行小波变换：
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（式11）小波系数的相位为：，定义相位导数为零的位置为小波脊线所在位置，可推得脊线对应的尺度a=r(τ)为：
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（式12）
和分别表示信号和小波的瞬时相位，由所选定的小波函数确定，小波脊线表示了被分析信号的瞬时频率[1]。小波系数的模反映信号在时频平面上的能量密度分布，而信号的能量在时频平面上主要集中在脊线附近。从任一时刻小波系数的模在频域(尺度)的峰值对应于信号在该时刻的主要频率成分可知，小波系数的模在脊线上取极大值。
对于解析信号，若采用具有较好频域局部性的复小波对其进行连续小波变换，小波系数为[2]：
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（式13）
上式右边第二项为高阶小项，可以忽略不计。故小波系数的模为：
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（式14）
对于振幅和频率随时间变化的实值信号，Morlet复小波变换系数为：
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（式15）
其模和相位分别为：
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（式16）
（式17）
信号的瞬时频率为： ‘
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（式18）
在脊线上，即，对实值信号进行Morlet复小波变换，脊线上的小波系数的模为：
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（式19）
因此，由脊线上小波系数可以求出瞬时振幅为：
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（式20）
同时，根据脊线所对应的尺度以及尺度与频率的对应关系式可求出系统的瞬时频率。小波脊线的提取可以通过小波系数的相位信息迭代求解或通过小波系数模的极大值求得。
四、非线性自由振动参数识别
4.1 非线性自由振动识别原理
广义杜芬系统是一种应用较广泛的动力系统模型：
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（式21）
其中ω0为派生系统的固有频率，ε为小参数，为系统非线性恢复力，F(t)为单位质量的激励力。
对于具有二次非线性恢复力的自由振动杜芬方程：
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（式22）
一阶摄动近似解为：
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（式23）
其中，α为初相位，A0为初始振幅。
瞬时振幅为：
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（式24）
瞬时频率为：
（式25）
将(式24)两边取对数即，由脊线上振动的振幅与小波系数的关系(式20)可得：，即脊线上的对数与时间t呈直线关系，直线的斜率为阻尼系数δ。同时，由脊线对应的尺度可求出响应的瞬时频率，利用(式25)，用最小二乘法拟合求出ω0和，从而得到ω0和ε。
同理，可以用上述方法识别杜芬非线性自由振动。
4.2 数值算例
弱平方非线性有阻尼自由振动方程：，采样频率为1000HZ，振动时间0-1.024秒，初始振幅200mm，采用四阶龙格-库塔法计算的振动响应如图所示。
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图 振动响应图
为了研究响应的时变趋势，采用Morlet小波函数对响应进行小波变换。根据小波系数模的极大值确定脊线，由脊线所对应的尺度计算瞬时频率。同时，由脊线上小波系数求得瞬时振幅。计算系统参数时考虑小波变换的边界效应[3]，取0.3-0.8秒内的数值。由脊线上小波系数的对数与时间的直线关系，可求得直线的斜率即阻尼系数δ。由瞬时频率与振幅的关系拟合得到ω0和，由此算出ε。当ε<0时随着振幅的减小系统自由振动频率增大。识别结果为：δ=3.48，误差为2.35％：ω0=118.64，误差为1.13％；δ=53.5，误差为7％。产生误差的原因一方面是由计算小波系数时忽略了高阶小项，另一方面是由于二次非线性方程的瞬时频率为一阶摄动近似解。
五、 结语
本文研究了基于Morlet复小波变换的弱非线性系统识别方法。利用小波变换时频分析的特点，用Morlet复小波函数对二次非线性单自由度系统自由振动响应进行小波变换，通过脊线所对应的尺度和脊线上的小波系数识别其瞬时频率和瞬时振幅。通过二次非线性系统自由振动的瞬时频率与瞬时振幅与系统参数之间的关系识别系统的固有频率、阻尼系数和非线性系数。
参考文献：
【1】朱洪俊，王忠，秦树人．小波变换对瞬态信号特征信息的精确提取，机械工程学报，2005，41(12)：196-199．
【2】Carmona R A，Hwang W L，Torresani B．Characterization of Signals by theRidges of Their Wavelet Transform．IEEE Transaction on Signal Processing，1997， 45：2586．2596．
【3】Kijewski T，Kareem A．Wavelet Transform for System Identification in CivilEngineering．Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering，2003，18： 339．355．
第一作者简介：杨津听，1969年生，男，汉族，正高级工程师，工程硕士，从事的主要工作：电力拖动自动控制系统，DCS系统，MES系统，先进控制系统，非线性系统、混沌系统的研究、设计、制造；通讯方式：邮编：650221，云南省昆明市龙泉路上马村五台路2号 昆明电器科学研究所 ，电话：13888757144，0871-66243077，e-mail:newtonsmale@qq.com。