摘要：解题是学数学重要的环节，数学教师很多时候就是教学生解题。不能用教师的解题思维去衡量学生的解题思维，而是要在数学思想方法的渗透上作文章，在引导学生思考上下功夫，提出了从学生的思维出发，站在学生的位置上来思考分析问题，鼓励学生猜想，用好合情推理，让学生说自己的解题思路等提高学生解题能力的方法。
关键词：猜想；分析；合情推理；充分的思考；限时训练；合作交流
数学教学更多的时候是解题，听懂课，会做题，做对题是学数学的一个基本过程。从核心素养的培养来看，做对题是数学核心素养形成、提高的重要标准。
华罗庚说：“学数学不做题，如入宝山而空返。”说明解题是学数学重要的环节。
波利亚说：“一个重大的发现，可以解决一些重大的问题，但在求解任何问题的过程中，也都会有点滴的发现，想有重大的发现，就必须重视平时的解题。”波利亚把解题作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。
在数学定义、概念、定理、公理都清楚的情况下，解题就是重要的内容，也就是如何把学习的知识应用于具体问题的解决之中。
问题1：（2018全国Ⅱ理11）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ）
A． B．0 C．2 D．50
老师怎么想？最先想到的恐怕是及这个条件的使用，如果找得到周期，这个问题就解决了。这是教师的思维，学生的思维是什么？第一种，逐一计算，然后加起来，这个想法学生自己会发现行不通。第二种，寻找周期，这个函数的周期是不是2呢？也就对的认识，此时这个和为50。出现选项错误。第三种，由出发，得再抓住是奇函数，可得即。
从而2，现在的问题是，你解题的想法，就这样讲给学生，他们听得懂吗？就算听得懂，他能够用这样的思想方法解决类似的问题吗？也就是说，你的引导与讲解，对学生解题能力的提高是否有帮助。
你如何引导学生解这个题？
方法一：如果周期算对，这个问题也很容易。怎么找周期呢？ 由和是奇函数，得，
即所以周期为4。
又，
∴。
从而
这个解法从整体出发思考，获得结果。
方法二：由（1）知函数的周期为4，所以，，
，
∵
这样讲清楚了吗？
上面问题的解决过程给我们的启示，就是如何站在学生的角度思考分析，如何使学生接受老师的想法，老师的想法又如何影响学生的解题。
一、鼓励学生猜想，用好合情推理
波利亚建议：“只要我们能承认数学创造过程中需要合情推理，需要猜想的话，数学教学中就必须有猜想的地位，必须为发明做准备，或至少给一点发明的尝试。”
问题2.已知函数
（1）若，求的极值；
（2）若，都有成立，求的取值范围.
解：（1）当时，，
令，解得
在区间上是减函数，在区间上是增函数
时，函数取得极小值，，无极大值。
第(1)题很常规,大家都知道是单调性的讨论。
（2）法一：恒成立问题，参数能分离就尽量分离。由得，设，讨论的单调性即可。，
，设，。
∴在[0，+∞）上单调递增。∴，即，在[0，+∞）单调递增，
法二：分类讨论求解，
①当时，,在区间上是增函数
在区间上的最小值为，且，符合题意
②当时，令，得或
当时，，在区间上，为增函数
在区间上的最小值为，且，符合题意
当时，
当时，，在区间上是减函数
，不满足对任意的，恒成立
综上，的取值范围是.
方法三：由得①，由灵魂不等式，∴要①恒成立，只要②恒成立， k=1时“=”号成立，∴k≤1。
方法三显然是错误的，错在哪儿呢？还是不等式的性质没清楚，由不能得到，从而就没有，即。另外①、②的成立没充分与必要的关系。
在解题教学中，我们希望学生经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，提出猜想。观察、分析、比较、联想是前提，归纳、类比是关键。数学解题也是一样，即要鼓励学生大胆猜想，又要提醒学生小心求证。
对于上题（2）的法一，我们观察发现所以，猜想，只要证明在单调递增即可。这个猜想对于解题有积极的指导意义。
2、引导学生分析，寻找正确方法
大部分老师解数学题时，往往只顾个人的感受而忽略了学生的参与，不知道为谁解题。当概念、定理等新的知识学习完以后，重要的就是新知识的应用了，对数学而言就是解题。教师指导学生解题的能力，决定了学生学习效益的高低。
引导学生分析问题，寻找解题方法，并实施解题，应该也必须是教师必备的功课。
（1）渗透思想方法，提高分析能力
问题3：已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
我们会习惯性的想到，所以原不等式的恒成立，化为恒成立，此时要么分离参数，要么构造函数。这种思路明显是小题大做的思路，也是不懂数学思想方法的表现。
教师怎么引导学生分析？第一，我们希望得到这样的形式，然后考虑的单调性，把“f”去掉。第二，基于前面的想法，教师要引导学生观察题目的结构，发现与的关系。得到，从而只要恒成立，而（x＞0），故只要说明在[1,+∞）上递减。就把不等式的恒成立问题转化为函数的单调性问题，用到了化归与转化思想。
在解题中渗透数学思想方法，有利于提高学生的思维品质，形成良好的思维习惯。学生掌握了数学思想方法，面对新的问题就会有明确的解题目标，合理的分析角度，得到较优的解题方法。
问题4：若函数f(x)=lnx-ax有2个零点且则a的取值范围是（ ）
D. (1, e)
分析：f(x)=lnx-ax有2个零点，即方程lnx-ax=0有2个不同实数解，即有两个实数解，即直线y=a与的图像在（0，+∞）有两个不同的交点，把零点问题转化为函数图像的交点问题，用到了函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想。
解：由，得，，设，当，，当时，；当时，，∴在上为增函数，在上为减函数且，∴，∴，故选B.
（2）给学生充分的思考时间，让学生说出自己的想法
解题教学要给学生充分的思考、交流的时间，学生的“想”比教师的“讲”更重要。相信每一个老师都支持这个观点，但在实践中却不是这样，总是等不及、等不得，总想越俎代庖，还有的走向另一个极端—放任自由。一个问题的解决，限时训练是必要的，“限时”能激起学生的紧迫感，调动学生全身心投入解题活动，促进学生的思维。但限的“时间”对老师来讲是一个考量，充分的思考交流是必要的，但没有适当任务的解题活动对学生的发展也是不利的，教学要正视 “限时”与“充分交流”的矛盾，解决好这个矛盾对学生的解题思维的培养有积极的意义。做到“限时”与“充分交流”相结合、自主合作与教师适当指导相结合，学生解题能力才会提高。
让学生说出自己的想法，一是对学生的鼓励，二是让教师发现学生思维存在的问题，以便于教师的讲解更具针对性。
看一段课堂实录：
问题5：已知是圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值是（ D ）
A. B. C. 0 D. 1
生1：画出图像，可以发现，而，
∴，要求最小值，CA=1是固定的，只要PC最短即可。PC最短即圆心到直线的距离。
这个方法用到了数形结合、化归与转化思想。较好地应用了向量的加法法则、相反向量的概念，抓住AB是直径这个条件，实现问题的解决。
生2：设P(x0,y0),∵P在直线，∴y0=x0+1,∴P(x0, x0+1)。
师：你怎么想到要设P点坐标的？
生2：∵向量可以用坐标表示，∴想用求函数的最小值的办法求的最小值。
师：后面怎么办？
生2：设出A、B两点的坐标。
……
结果发现深入不了。
实际上，这个问题的解决与用不用向量的坐标没有多少关系。生2解题的出发点是好的，许多同学都会那么想，为什么深入不下去，关键是对“AB为直径”这句话的理解不够、应用不会。这个问题的关键是要找到。但通过生2的发言，老师知道学生解题中会出的问题在哪里，就能较好地提醒学生什么是关键，怎么抓关键。
教学生解题，方法很多，比如一题一课，多角度分析思考等等。本文只从两个方面谈了笔者的做法，在突出核心素养培养的今天，我们需要更加注重学生学科思维的提高训练，更加注重学科思想方法的教学。