陈伟权
广东省开平市第一中学 广东省 开平市 529300
摘要：本文用高等数学观点审视高中数学难题的解题思路教学过程，并应用多元函数极值、拉格朗日中值定理、极点极线等高数观点作为主线，注重研究高等数学观点如何有助挖掘题目本质，有助于形成中学数学的解题思路，从而达到深入浅出，提升尖子生的解题能力与数学素养。
关键词：解题思路形成；高等数学观点；多元函数极值；拉格朗日中值定理；极点极线
一、论证高等数学观点在高中数学难题的解题思路点拨中的必要性
首先，高中数学难题的解题思路与能力提升离不开学生的主动参与和建构。教育心理学家布鲁纳认为：“知识的获得过程是一个主动的过程，学习者不应是信息的被动的接受者，而应是知识获取的主动参与者。”如果教师在高考数学难题解题的教学过程中，只注重把题型归类，解题步骤灌输给学生，然后让学生针对这些题型的大量刷题就以为万事大吉，那么在实践中往往事与愿违，因为高考中往往会出现教师没归纳到的新类型，所以学生又不会做了。所以，我们在高中数学难题教学中需要重视帮助学生挖掘题目的本质以及让学生知道解题思路的形成过程是怎样的，体验到解题的思维痕迹生成过程，从中真正提高解题思维与数学核心素养。
其次，要把握高中数学难题的本质与思维突破口，往往需要站在更高角度上去思考问题，比如从高等数学的层面思考。罗增儒[1]在《高考数学压轴题的认识研究（续）》文章中指出，高考数学压轴难题都有背景特征。因此，如果我们把尖子的思维与目光只局限于现有的中学阶段，这其实不利于培养尖子继续深造的潜力的，没有培养出尖子洞察到难题的思维本质，只是依靠题山题海的刷题模式打造出来的尖子是“只见树木不见森林”，其解题思维认知是孤立零散的，与当前倡导考查数学素养的高考趋势相背离。
我们用高等数学的观点去审视高中数学难题的教学，但并不是用高等数学方法代替中学数学的解题方法。我们的难题教学模式应该是不管题目再难，在高等数学观点下，题目的本质一览无遗，找到解题的思维痕迹，再从容的用高中数学知识解出来，达到深入浅出的一个效果，这对提升尖子生的解题思维与能力是有必要的。
二、高等数学观点审视下的高考数学难题的解题思路教学案例
案例1(节选自2013年湖南高考卷理科第10题)
已知x+2y+3z=6，则x2+4y2+3z2的最小值为_______
高等数学观点审视：这是一个多元函数极值问题，可利用拉格朗日函数乘数法求极值。
注意到我们是用高等数学观点审视中学难题，并不是用高等数学的方法去替代中学的方法。多元极值的高等观点有助我们挖掘这道题的本质，帮助学生形成中学数学解题思维。由高等数学观点，我们清楚了题目的本质在中学数学其实是配方！
返回中学的配方法：
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点评：如果我们不清楚本题背后的高等数学的拉格朗日函数观点支撑，一看上述解法只能感叹配方技巧性太强，碰运气才想到！这就领悟不到题目本质，就谈不上可以把配方技巧迁移到其它题了！
案例2(节选自2006年四川高考理科第22题最后一问)
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高等数学观点审视：拉格朗日中值定理[2]的其中一种等价形式为:
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案例3(题目来源于智学网2018年模拟题)
已知f(x)=x-1-alnx(a<0)，g(x)=1/x，且对任意x1,x2∈(0,1]，都有
所以本题在中学数学的本质是f(x)+4g(x)单调递减！
返回中学的方法：
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点评：对于案例2与案例3，其实这类题对很多学生来说是很难的，无从下手。我们如果引导学生从拉格朗日中值定理角度思考，那么学生很快发现题目的本质是利用函数单调性定义，也不会觉得解题思路无从捉摸了。
案例4(题目来源于智学网2019年模拟题)
已知椭圆E:x
2/a
2+y
2/b
2=1，以其左焦点F1(-c,0)为圆心，a-c为半径作圆，过上顶点B2(0,b)，作圆F1的两条切线，切点为M,N，若过两个切点M,N的直线恰好经过下顶点B1(0,-b)，则椭圆的离心率为__________．
高等数学观点审视：圆F1的方程x2+y2+2cx+2ac-a2=0，在极点(0,b)的极线方程为：cx+by+2ac-a2=0，在极点极线的高等数学观点下，这就是切点弦MN的方程！所以由高等数学观点的审视可知，本题在中学数学本质是以切点弦MN的方程为桥梁，打通a,b,c关系即可解！
返回中学的方法：
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点评：圆锥曲线中很多切点弦、定点、定值问题都是以高等数学中射影几何的极点极线为背景的，了解一些，对捕获解题思路有帮助。
三、今后努力方向
高考数学难题的解题思路教学与备考切忌套路化，切忌生搬硬套，过分强调技巧而忽略题目本身蕴含的朴素的、深刻的数学原理。“教人半桶水,自己得有一桶水”。尖子班数学教师应该要立足于高等数学观点，就能拨开云雾看透题目的本质与设计意图，从更高的角度切入问题，引领学生发现解题痕迹，学生也不会觉得解题思路突兀了。
参考文献
[1] 罗增儒.高考数学压轴题的认识研究(续)[J].中学数学教学参考.2018年05期
[2] 华东师范大学数学系编.数学分析(上)[M ].北京：高等数学教育出版社，2001年6月：第121页