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论几何直观教学法在初一代数中的运用

发表时间：2021/7/2 来源：《比较教育研究》2021年6月作者：李乔生

[导读]

李乔生四川省南充二中
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1003-7667（2021）06-013-01

        一、初一代数进行几何教学的意义与可能性
        大家知道，尽管初中学生思维形式的抽象成份已经在一定程度上占相对优势，但在很大程度上还属于“经验型”，即在思维过程中还离不开具体的、直观的感性支持。初一学生刚从小学升入初中，思维能力更与小学儿童接近，因此，在初一代数中加强几何直观教学，以帮助学生掌握好代数知识，有效地完成具体思维和抽象思维的过渡，进而为顺利完成初中阶段的数学学习任务奠定良好基础，就显得十分必要。具体体现在：
        1、数形结合，有利于帮助学生正确理解和掌握代数的基本概念。就教材内容来看，有理数概念是初一学生所接触的第一个数学概念。怎样使学生的思维适应数集概念的扩充？从理论到理论，纸上谈兵学生是不易接受的。这时，就必须通过现实生活中的大量直观模型（如直尺、杆秤、温度计等），使学生首先明确数集扩充的意义和必然性；与此同时，把这些直观模型所共有的本质属性加以抽象化，便建立了代数问题的第一个几何模型——数轴。这一几何模型的出现，反过来又可以帮助学生从图形的直观来理解有理数及其有关的一些问题。例如：学了数轴，可以使学生进一步巩固具有相反意义的量的概念。接着，也为学习好相反数和绝对值、有理数的大小比较及有理数的运算等内容，提供了可靠保证。
        2、数形结合，有利于理顺知识，培养学生思维的条理性。
        例如，在学了用字母表示数之后，随之而来就会出现这样一类问题：
        若a>0,b<0,且a+b<0，试用“<”号连接a, -a, b, -b。
        对于这类问题，如果要求学生仅从其数量关系上作出定量分析，往往会使学生感到理不出头绪，思维被搅成一团乱麻，因而也就很难获得正确解答。但借助于数轴，启发学生把问题转化为对图形进行定性分析，却可使问题的解答条理分明，顺理成章。
        解：在如下图所示的数轴的正方向取一点表示a。注意到b<0, a+b<0，可知b的绝对值比a的绝对值大，故可在数轴的负方向取一点表示b，使得这点到原点的距离大于表示a的那个点到原点的距离。然后，关于原点O对称地找出-a和-b,于是a、-a、b、-b之间的大小关系便一目了然了。
        3、数形结合，有利于促进学生在运算上完成由算术到代数的转化。由于初一学生在小学阶段已熟练掌握了用算术方法解题（尤其是应用题）。开始学习代数方法很不习惯，甚至在遇到一些用算术方法无法算答的问题时，也往往受算术方法的干扰列不出代数计算式（方程式）。为了排除干扰，帮助学生将问题化算术解法之难为代数解法之易，化算术解法之不可能为代数解法之可能，也常需借助于几何直观图示，对数量关系作出清晰而直观的分析（如应用题中的行程问题，工程问题等等）。在这个过程中既让学生掌握了分析问题的方法，也能使学生深深体会到代数方法的优越性，从而自觉地接受代数方法的训练，实现由算术向代数的过渡。
        4、数形结合，有利于帮助学生从实质上理解抽象的公式、法则，从而有助于培养学生思维的准确性和完整性。如在教学乘法公式时，学生总会感到这样或那样的困难，主要原因也就在于这些公式的抽象程度高，使学生难于把握住公式的结构特点，如在应用中经常出现类似于（3x+2y）2=9x2+4y2的错误。

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为了让学生对公式的本质内涵有个感性上的牢固认识，也就很有必要借助于学生熟知的几何图形，把公式的推导转化为一些正方形或长方形的面积计算，用“铁的事实”来验证公式的可靠性和不变性，才可使学生准确完整地理解、记忆和应用公式。
        5、数形结合，有助于为后续平面几何的教学奠基铺路。初一代数中进行几何直观教学，在更好地帮助学生理解、掌握代数的概念、法则其及应用的同时，也相应地培养了学生的画图、识图、读图和用图形语言表达数量关系的初步能力。作为教学的一种派生效果，这就为学生进行几何学习扫除了一些入门障碍，奠定了适应几何学习的心理的、能力的基础。
        二、几何直观方法在初一代数中的应用举例
        前面我们已一再阐明初一代数中的几何直观材料的应用，不应全停留在解释一些代数概念、公式和法则上，关键的问题还在于，必须通过几何直观教学使学生获得某种数学思想和数学观点（狭义地说也就是构图思想和数与形之间的相互结合、转换、渗透的观点），并且在一定程度上具备应用这些思想和观点去解决问题的能力。为此，就需要教师精心选材，合理安排，见缝插针，充分利用教学的一切有利时机，把构图思想的教学逐步深入地引向一个新的高度。下面笔者根据自己的教学实践并针对初一代数教学的实际，提供几个应用问题供大家参考。
        例1甲、乙两人分别从A、B两地骑自行车匀速相向而行，在途中相遇后，甲经4小时到达B地，乙经1小时到达A地。在全程中甲、乙各行几小时？
        这是一个行程问题，但题中已知条件只给出“时间”，其他一无所知，因此，用常规方法（无论是算术方法还是代数方法）解都比较困难。若考虑利用构图思想，按如上图构造一个直观模型，却可化难为易，给出巧妙、生动、别开生面的解答。
        解设甲乙两人在出发x小时相遇，注意到甲乙都是作匀速运动，故在如图所示的两段路程中，甲与乙所用的时间应成正比，从而可得。
        由此比例式不难得到x=2。故在全程中甲行6小时，乙行3小时。
        值得注意的是，上例的构图方法，比起教材中所介绍的方法及我们通常采用的辅助图形分析法，都显得独到别致，它更易于帮助我们发掘题目中的隐含关系，使等量关系表现得更为明确。
        又如，在工程问题中有如下等量关系：
        工作量=工作时间×工作效率
        这个关系很类似于矩形的面积计算公式，这便给了我们启发：是否能通过构造矩形，用计算矩形面积的方法来解决这类问题呢？事实上，在如图所示的矩形ABCD中（注：为节省篇幅，这里我们采用平面几何中的一些记法来说明图中的有关问题，下同），若利用它来解决工程问题，则可把相邻的两边AB、AD分别表示工时和工效，故由关系式可知S矩形ABCD就可工作量了。根据这一思想，我们可独辟蹊径，给出这类问题以极富于启发性的解答（注意：某些行程问题也可用此法）。
        例2：某修路队修筑一条公路，按平均每天修500米计算，计划110天可以完成，由于进行了一系列改革，结果平均每天比原计划多修了50米，这样可以提前几天完成？
        解 S矩形ABCD与S矩形AEFG都表示要修的公路的总长，AB、AE分别表示原来每天修500米和改革后每天修（500+50）米的工效；AD表示原计划110天完成修路任务；设DG=x表示提前X天完成。因两个矩形ABCD与AEFG面积相等，减去其公共部分S矩形ABHG，则得，S矩形GHCD=S矩形BEFH，从而可得方程为500x=50(110-x)，解得x=10，即可提前10天完成任务。
        综上各例可见，借助于几何直观方法，帮助学生探究，建立一些应用问题中数量间的关系，可促进学生加深对问题的本质属性的理解，且往往能使一些较难的问题解答起来也得心应手。