王恩卫
浙江省温岭市松门中学
摘要：圆锥曲线中涉及椭圆或双曲线的离心率问题一直是考试的一个热点问题，也是历年高考中比较常见的一个基本考点，知识板块融合巧妙，破解思维与方法多样，能有效开拓学生的解题视野与深度，提升学生的思维品质和创新意识，充分体验到数学探究的乐趣，并收获到成功的喜悦，增强学习数学的兴趣和信心．
关键词：双曲线；圆；椭圆；离心率；切线；坐标；几何
圆锥曲线中涉及椭圆或双曲线的离心率问题一直是考试的一个热点问题，也是历年高考中比较常见的一个基本考点，倍受命题者的青睐．此类问题常考常新，内涵丰富，融合度高，可以巧妙把解析几何中的相关知识融入其中，也可以交汇函数、不等式、平面向量等其他相关知识，知识板块融合巧妙，破解思维与方法多样，是数学能力提升与思维拓展养成，创新意识与核心素养培养的好场所．
1．问题呈现
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此题以双曲线为问题背景，结合双曲线的几何性质，圆的方程，直线与圆的位置关系以及切线的性质等来巧妙设置，进而确定双曲线的离心率的取值范围．难度中等，内涵丰富，把解析几何中的直线、圆、圆锥曲线等相关知识加以合理交汇融合，是一个数学知识与数学能力展示全面的创新性问题．
2．问题破解
方法1：（坐标法）
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点评：根据题目条件的分析得到四边形TACB是正方形，得到|CT|=a，设出点T的坐标，结合两点间的距离公式来建立关系式，通过参数的变形以及离心率的公式，利用不等式的求解来确定离心率的取值范围．
方法2：（几何法）
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点评：根据题目条件的分析得到四边形TACB是正方形，得到|CT|=a，结合几何性质，利用点C到渐近线的距离d与|CT|之间的大小关系建立相应的不等式，再结合题目条件通过参数的变形以及离心率的公式，利用不等式的求解来确定离心率的取值范围．结合该几何法的应用，也方便该问题的拓展与应用．
3．变式拓展
探究1：把原来问题中双曲线的问题类比到椭圆的问题中去，再适当改变相关的条件，可得到以下对应的变式．
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探究2：改变原来问题的条件，改变“M的渐近线上存在点T”为“M的两条渐近线上各仅存在一个点T”，进而来确定双曲线的离心率的值问题．
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探究3：同样，改变变式1的条件，改变“M上存在点T”为“M上仅存在两个点T”，进而来确定椭圆的离心率的值问题．
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探究4：改变原来题目条件中圆的方程，同时改变原来“M的渐近线上存在点T”为“M上存在点T”，同样来确定双曲线的离心率的取值范围问题．
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4．解后反思
结合一道充分交汇与融合解析几何中的直线、圆、圆锥曲线等相关知识的双曲线的离心率问题，抓住题目本质，认真分析，通过坐标法和几何法等角度切入来解决问题，并在此基础上不同方式加以探究、拓展、深入，有效实现“认真解答一个题，拓广解决一类题，变式深化一片题，思维能力一起高”的目的，脱离“刷题”而导致的“题海战术”，开拓学生的解题视野与深度，提升学生的思维品质和创新意识，充分体验到数学探究的乐趣，并收获到成功的喜悦，增强学习数学的兴趣和信心．