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数形结合思想在小学数学教学中的应用马彦萍

发表时间：2020/8/10 来源：《基础教育参考》2020年8月作者：马彦萍

[导读] “数”与“形”是数学研究中的两大对象，二者相互依存，数形结合的思想方法即是指将数的精确与图形的直观两个特点巧妙结合，有效地提高解决问题的效率。

马彦萍青川县乔庄镇中心小学校 628100
【摘要】“数”与“形”是数学研究中的两大对象，二者相互依存，数形结合的思想方法即是指将数的精确与图形的直观两个特点巧妙结合，有效地提高解决问题的效率。
【关键词】小学数学；数形结合；应用策略
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2020）08-029-01

        数学是研究数量关系和空间形式的科学。其中“数量关系”常被表示为“数”，进一步扩展为“抽象”的、“符号化”的数学对象。如小学数学中的数、式（运算）、方程等都可以看作“数”。“空间形式”常被表示为“形”，进一步扩展为数学中那些“有形”的、“可视”的东西。如小学数学中的图形、数轴、位置、正比例图象等都可以看作“形”。“数”构成了数学的抽象化符号语言，“形”构成了数学的直观化图形语言，两者各有优势。在数学上，常常可以将“数”和“形”联系起来，利用两者的优势互补来研究和解决问题，这就是人们常说的“数形结合”的思想方法。数形结合的思想方法在小学数学教学中有着广泛的应用。下面结合几个具体的教学案例，对此作初步探讨。
        一、以形表数
        由于小学生的数学思维尚处于发展初期，他们的思维以形象思维为主，抽象思维能力相对较弱，在学习抽象的数学知识时，常常需要借助具体的生活经验和直观形象的材料进行思考。依据小学生的这一思维特点，教师在教学认数和计算等知识时，特别需要注意将“数”和“形”结合起来，通过以“形”表“数”，利用“形”的直观、具体、形象的特征，帮助学生理解“数”的抽象含义及其运算原理，促进其数学思维的发展。
        例如，在植树问题中，“学生在全场100m的马路上植树，每隔5m种一棵树，两端都要栽种的话，一共要栽种多少棵树？”题中的重点显然是“两端都要栽种”，因此栽种的棵数比间隔数要多1，即：棵树=间隔数+1；间隔数=棵树-1；全场÷间距=间隔数；全长÷间隔数=间距；间隔数×间距=全长；（棵树-1）×间距=全长。只有将题目中的繁多的文字以及条件、隐藏条件和数量关系等因素用线段图的方式来表示，问题的解决思路就会变得更加清晰。教师要着重引导学生学会借助线段图的方式来解决问题，建立起实际问题的数学模型，以“植树问题”为例，学生通过观察两端都栽上树的线段图，将线段中的分割点和所栽树的数量一一对应，学生才能够进一步发现，由于是两端都栽，所以栽的棵数比间隔数多1。学生从审视问题到分析问题再到解决问题的过程中，感受数图结合在解决问题中的高效率。
        二、以数解形
        （一）活用公式，把握图形结构
        小学阶段的数学几何学习，如长方形、正方形、三角形、平行四边形等都是相对基础性的，学生对于图形的理解也主要是建立在实物和图像上，是具象思维的体现。而在“组合图形的面积”中的教学内容是对学生之前所学几何知识的总结、归纳，引导学生对基本图形建立联系，形成系统化的知识体系。例如，在学生学习平行四边形、三角形和梯形的面积公式后，还需要对三者进行联系，掌握三者之间存在的连接点。

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教师可以引导学生用割补法将梯形学具进行拼接，感知由梯形到平行四边形的转化过程，并思考当梯形的上底和下底怎样变化，才能够产生平行四边形；怎样移动，才能够产生三角形，在不断地拼接中，使学生脑中的知识变得可操作，从而有效理解三种图形间的转换关系。
        （二）勤于计算，探索形的大小
        “形”具有直观、具象化的优势，但也存在着不利于表达的劣势。而在数学教学中，教师要引导学生将精确的数字与直观图形进行结合，才能在“数形结合”的过程中，准确地把握“形”的内涵。例如，在“多边形面积”的教学中，有一道课后练习题：有位于同一平行线中的长方形、平行四边形、梯形和三角形，设法求出它们的面积。教师首先要让学生先回忆四种图形的面积公式，再用实际测量的方法，测量长方形的长和宽，以及平行四边形、梯形和三角形的底，由于三者存在于同一平行线内，高只需测量一次即可，根据测量的数据得出长方形的面积为1.8×3=5.4；平行四边形的面积为1.8×3=5.4；梯形面积为（1.2+2.4）×3÷2=5.4；三角形面积为3.6×3÷2=5.4。学生会发现，在高相等的情况下，四个图形的面积也都相等，三角形的底是平行四边形底的2倍，也就能够准确地解释在同一平行线内，二者面积相等的原因。
        三、数形互助
        所谓“数形互助”，即是在解决数学问题时共同运用“以形助数”和“以数解形”的数学思想，其关键在于要从已知结论同时出发，找出问题中存在的“形”“数”关系，从而高效率地解决问题。
        （一）挖掘“数”与“形”之间的内在联系
        “数形互助”的典型例题，就是“鸡兔同笼”的问题，并且该问题的解决思路在学生的脑中往往总是不清晰的状态。教师只有帮助学生掌握正确的思路和解题技巧，才能真正地理解该问题的内涵。例如，小明家利用家中的空地养了一些兔子和鸡，它们一共有35个头，94只脚，问鸡和兔分别有多少只？教师可以引导学生将鸡和兔抽象出来，通过简单的画图来进行问题分析，在一张纸上用○代表鸡和兔的头，画出35个○，接下来采用启发诱导的方式，让学生换一个角度进行思考，假设笼子里全部都是鸡，就会有35×2=70只脚，但如果按照问题中所给的条件进行假设就会多出24只脚，而根据这24脚也就能够推断出兔子的数量，接下来只需要将这24只脚按两只脚的形式添加在刚刚假设的鸡身上，就可以变为4条腿的兔子，也就是24÷（4-2）=12只，所以鸡一共有35-12=23只。从该题可以看出，每一个解题步骤的进行都是将题中条件转换到图中去的过程，将“数形互助”思想贯穿始终，使学生在具象思维上所建立起的抽象逻辑思维也得到了发展。
        （二）善于作图，以形助数
        教师在数学教学中要经常性地引导学生打破思维定势，尝试多种方法结合来解决具体问题。在“数形互助”思想方法中，最能够体现该思想的应是学生在学习过条形统计图之后的折线统计图，从数据的大小以及图中的折线高低来感受数据的变化，其特点也正是数据与增减变化能在同一張图上同时展现出来，教师要引导学生体会该图的特点，从而感知由数到形再到数的分析过程，认识到数形结合思想在解决问题中的妙用，在分析和思考中培养学生的数据分析意识。
        数学是培养学生逻辑思维能力的学科，数形结合思想基于“生活化数学”的教学理念提出，为学生学习数学知识，掌握数学学习方法提供了捷径，在获得数学学习体验的同时，提高逻辑思维能力。
参考文献
[1]袁婷.小学数学教学中数形结合思想的渗透研究[J].学周刊，2015（06）：60-61.
[2]孙红梅.数形结合思想在小学数学教学中的实践运用[J].黑龙江教育（理论与实践），2014（Z1）：88-89.
[3]黄生明.数形结合思想在小学数与代数教学中的运用[J].情感读本，2017（20）：73.