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空间几何体外接球问题的解题策略研究

发表时间：2020/7/13 来源：《新纪实》2020年第4期作者：刘小玲

[导读] 空间几何体外接球问题一直都是数学高考中出现频繁的考点问题，该类问题不仅对高考生的数学核心素养进行了有效考查，同时也是考查学生数学能力的关键环节。因此，高中数学教师应该给予该类题型的充分重视，对其解题策略进行深入研究，并对学生进行专题指导，促使学生了解以及掌握各类空间几何体外接球问题的解题方式，从而提升其高考数学成绩。基于此，本文对空间几何体外接球问题的解题策略进行简要研究，希望可以为相关人士提供一

        广州市从化区第五中学广东广州 510900

        【摘要】空间几何体外接球问题一直都是数学高考中出现频繁的考点问题，该类问题不仅对高考生的数学核心素养进行了有效考查，同时也是考查学生数学能力的关键环节。因此，高中数学教师应该给予该类题型的充分重视，对其解题策略进行深入研究，并对学生进行专题指导，促使学生了解以及掌握各类空间几何体外接球问题的解题方式，从而提升其高考数学成绩。基于此，本文对空间几何体外接球问题的解题策略进行简要研究，希望可以为相关人士提供一定参考。
        【关键词】数学教学；空间几何问题；外接球；解题方法

        空间几何体外接球问题虽然是历年数学高考的关键考点问题，但是很多考生却并没有掌握其正确解题思路及方式，导致大部分高考生在该类问题上丢失分。因此，需要数学教师能够对学生进行正确指导，激发其数学思维，促使其了解以及掌握更好该类题型的解题策略，为其取得优异的数学高考成绩提供保障。
        一、运用球体定义进行解题
        在解决空间几何体外接球这类数学问题时，有一部分题型主要是对球体定义的考查，这时只需要运用球体定义即可准确解决该类问题。在考查球体定义时，解题关键在于球心位置的确定。
        例如：三棱锥S-ABC所有顶点都在球O的球面上，并且已知球O的直径为SC。假如平面SCA与平面SCB垂直，而且SA=AC，SB=BC，该三棱锥S-ABC的体积为9，求球O的表面积。
        分析：想要解答该问题，就需要学生能够准确找到球心。通过对已知条件进行分析可知：SC为球O的直径，那么也就可以得出∠SAC=∠SBC=90°，因此推导出球心的位置应该是SD中点，那么就得到OA=OB=R，当球心位置推导出来之后，球O的面积也就很容易求出来了，只需对球的半径进行求值即可。基于此，通过已知条件可知SA=AC，SB=BC，那么也就得到AO与SC垂直，BO与SC垂直；通过平面SCA与平面SCB垂直可以推导出AO与平面SBC垂直，BO与平面SAC垂直。最后，通过公式推导出R为3，所以球O的表面积是36π。
        又如：长宽分别是3和2矩形ABCD沿对角线AC折起成空间几何体ABCD,求该几何体的外接球半径。这道题看似很难，因为不知道折起到什么位置，认真观察并利用直角三角形的性质即可发现球心就是对角线的中点，从而求出半径。
        二、利用特殊几何体性质进行解题
        有一些几何体存在特殊性，所以在解决该类空间几何体外接球问题时，可以引导学生利用其特殊性质进行解题。比如利用长方体与球体的对称性质，能够得到长方体的体对角线即外接球直径，进而轻松、准确地解决相关问题。

         对于某些几何体如有三条棱两两垂直的几何体，对棱长相等的四棱锥等，其外接球问题也常常可以转化为长方体的外接球问题解决。
        三、通过建立模型进行解题
        在解决空间几何体外接球这类数学问题时，最常用的解题方法还有模型法，主要用于圆柱或直棱柱的外接球球问题中^[1] 。通常会将圆柱或直棱柱的侧棱长设为2b，将底面三角形的外接圆半径设为r，通过公式能够轻松求出外接球的半径，进而准确解答出相关问题；也可通过对一条侧棱垂直于底面的棱锥进行补充，使其成为直棱柱，再通过上述方式进行解答。

          四、通过建立坐标系进行解题
        在对空间几何体外接球进行解答的过程中，还可以通过建立坐标系进行解答。在坐标系中可以标注出几何体的顶点坐标，并通过建立方程组求出外接球的球心坐标和半径，据此轻松解决出相关问题。需要注意，该种解题策略虽然很容易掌握，但是需要学生具备较强的解方程组能力。
        例如，有这样一道空间几何体外接球问题：已知三棱锥S-ABC在空间直角坐标系中，点A的坐标为（0，0，0),点B的坐标为（0，4，0），点C的坐标为（2，6，0），点S的坐标为（2，2，4）。问是否能够求出三棱锥S-ABC外接球的半径？在解答该问题时，通过建立坐标系可知，该三棱锥S-ABC的四个顶点坐标特征十分明显，能够通过四个方程组求出球心坐标，进而求出三棱锥S-ABC外接球的半径，即（0-a）2+（0-b）2+（0-c）2=R2，（0-a）2+（4-b）2+（0-c）2=R2，（2-a）2+（6-b）2+（0-c）2=R2，（2-a）2+（2-b）2+（4-c）2=R2；最终解得R的值为，因此可得到三棱锥S-ABC外接球的半径为^[3]。
        要想更好地掌握以上解题策略，不仅需要学生能够对自身的数学思维进行活跃，同时还需要学生能够对该类题型进行适度练习，注意一题多解、多变及多用思路，促使学生的解题思维得到开拓，从而使其处理该类数学问题的效率得到有效提高，为其取得优异成绩打下良好基础。

        参考文献：
        [1]杨彩云.截面法在求解空间几何体外接球问题中的应用[J].中学数学,2019(09):35-36+38.
        [2]黄林盛.以模型为载体解决空间几何体的外接球与内切球问题[J].中学数学研究(华南师范大学版),2019(07):14-17.
        [3]谭泽仁.空间几何体中几种常见的补形法[J].数学学习与研究,2018(11):129+131.