高静 内蒙古鄂尔多斯市东胜区教研中心 内蒙古 鄂尔多斯 017000
中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051 （2020）04-127-02
新冠病毒让2020年蒙上了厚厚的阴影，停课不停学很快被提上了日程，鄂尔多斯市东胜区的空中课堂如期开课，一个多月的网络陪伴后终于看到了初三年级开学的曙光，教研中心的领导们提议教研员也能和老师们一起站在网络的另一端给学生上课。我一直心心念念的一节课就这样作为东胜区初三年级数学学科最后一节直播课走进了空中课堂。
上这一节课的愿望是在去年赴北京培训时，知名教师张文娣老师的一个讲座中提到了这道题的6种解法，当时让我大开眼界，钦佩有加，回来后自己又做了研究，特别希望有机会给学生上这节课。机缘巧合，在微信里发现了一篇文章也是关于这道题的多种解法，角度更加新奇。
为了上好这一节课，我邀请了伊克昭中学的张志刚老师和李晓丽老师与我一起进行再研究，并提出了新的想法，研究中我们发现了新的证明方法，并且也加入了不同的思考角度，在讲课之前，居然可以确定这一题的14种解法。3月27日上午虽然历经波折，直播任务终于如愿完成，在我的启发下，中午就有学生给我发来两种新的证法，之后区域内的翟月老师研究出了平移角度下的解法，可以说让我们的研究更加完美，目前此题共得17种解法，欣喜之余作文以记之，为自己的成长，也为更多同行的借鉴。
我讲的这一题是人教版八年级下册教材的一道原题：
如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE=EF
下面是我从九个思考角度讲解的十四种解法及区域内的另一位老师发现的一种方法。
思考角度一：截长补短
方法一（如图1）：
取线段AB的中点H，连接HE，证明△AHE≌△ECF即可。
图1 图2 图3
思考角度二：一线三垂直
方法二（如图2）：
过点F作FH垂直线段BC的延长线于点H，证得△ABE∽△EHF,.此时可设FH=a,CE=BE=b.于是可得，整理得a=b，即FH=BE，可得△ABE≌△EHF。
方法三（如图3）：
如图补全图形，同方法二设FH=a,CE=BE=b.然后用含a,b的式子表示线段AE,EF,AF的长，根据勾股定理建立等式，整理得a=b，即FH=BE，可得△ABE≌△EHF。
思考角度三：平行夹中点
方法四（如图4）：
延长DC，BE交于点M，连接AM，证得△ABM∽△CEF，,于是可以得出结论。
图4 图5 图6
思考角度四：旋转
根据我们的研究思路，在这个题中有两个基本三角形，题目的背景又符合旋转的条件，由旋转的三要素去思考，每一个三角形绕每一个顶点顺时针或逆时针分别旋转90°，可得到十二种情况，研究中我们只顺利的证出了其中的五种情况，如下：
方法五（如图5）：
延长线段AB，并截取BM=BE，连接EM，CM，易证四边形MEFC是平行四边形，问题得以解决。
方法六（如图6）：
如图添加辅助线，连接CM,可先证F,C,M三点共线，易得△EFC∽△NFM，且相似比为1：2，于是得FE=EN，可进一步证得结论。
方法七（如图7）：
如图构建，可证四边形AENM是平行四边形，从而问题得以解决。
图7 图8 图9
方法八（如图8）：
连接AC，取AC的中点M，连接EM。
易证△AME≌△FCE。
方法九（如图9）：
类似方法六的证明思路。
思考角度五：折叠（轴对称）
方法十（如图10）：
延长AB至A'，使A'B=AB,连接A'E，A'C，先证F,C,A'三点共线，再证∠EA'C=∠F即可。
图9 图10 图11
方法十一（如图11）：
类似方法十的证明过程。
思考角度六：平移
方法十二（如图12）：
取CD的中点M,连接EM,BM。易证。
思考角度七：共圆
方法十三（如图13）：
显然，我们易得A,E,C,F四点共圆，则∠AFE=∠ACB=45°，于是问题得以解决。
图12 图13 图14
思考角度八：建系
方法十四（如图14）：
过点F作FH垂直x轴于点H，同方法二设FH=a,CE=BE=b.然后用a,b表示点A,E,F的坐标，进而求得直线AE与直线EF的解析式，根据两直线互相垂直的位置关系，得k值互为负倒数，由此得出a=b.
思考角度九：相似
方法十五（如图15）：
可先证得△EAO∽△CFO，进而证得△AOF∽△EOC，于是得∠AFE=∠ACB=45°。
下面是来自于学生的两种证法。
方法十六（如图16）：方法十七（如图17）：
图15 图16
本质上这两种方法都是采用了构建出的直角三角形两直角边的比为1：2，得出了结论。
以多解归一的思路回看证明两线相等可以构造全等，平行四边形，等腰三角形或者列方程求解等，构建的方法有截取法、图形的运动变换法、共圆法等。总而言之，建立系统的思维，灵活构建是解决问题的根本。
在多种方法的研究中，我们已经很容易的发现，共圆和相似的思考角度解决问题时没有用到E是中点这个条件，这就说明E是线段BC上的任意一点，这个结论仍然成立，进而我们去想点E可以是BC延长线上的动点吗？可以是CB延长线上的动点吗？于是我们进行了一题多变。当然这个题还可以将正方形的背景变为等边三角形和等腰直角三角形的背景。
数学真是一个奇妙的世界，让我们在研究中发现，在发现中创造，在创造中获得真正的快乐。