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用“问题串”驱动学生的思维——以《基本不等式》的教学为例

发表时间：2020/3/3 来源：《中小学教育》2020年第399期作者：何秀君

[导读] 从教学实践来看，忽视知识的发生发展，重结果、轻过程的现象非常普遍。

浙江省绍兴市诸暨中学　311800
        摘　要：从教学实践来看，忽视知识的发生发展，重结果、轻过程的现象非常普遍。问题是思维的逻辑起点，也是推动思维的动力，选择恰当的结构，设计出得体的问题串，能起到激发学生兴趣、引导学生思考、提高学生素养的作用。
        关键词：知识的发生发展　数学与人文　问题串
        “培养学生的思维能力，提高学生的数学素养”是数学课堂教学的基本任务，但从教学的实践来看，忽视知识的发生发展，重结果、轻过程的现象非常普遍，学生被告知了很多解题的模式和方法，但是思维活动却没有真正发生。如何改变这种现状是笔者在平时的教学中努力的目标之一。本文结合笔者为准备全市优质课评选的一节课，探讨如何通过设置问题串，驱动学生的思维，提高学生的核心素养。
        一、设置问题串的基本认识
        “问题串”是指在一定的学习范围和主题内，围绕一定的目标，按照一定的逻辑结构精心设计的一组问题。在探究教学中利用“问题串”进行教学，就是围绕着探究目标，通过设置一系列有针对性的问题引导学生反应，教师在识别学生反应的基础上，采取有效指导，促进学生不断达成探究目标的一种有效方法。利用“问题串”教学能使学生的思维清晰，更深刻地理解其正在探究的问题，领悟探究活动的精髓。在利用“问题串”进行探究教学时，需要教师根据不同的课题，设置不同结构的问题串来引导、帮助学生获得对问题的深刻理解，获得探究能力的发展以及对探究本身的理解。
        二、《基本不等式》的问题串设计
        “基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究，在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。但在实际的课堂教学当中，教师往往花很少的时间给出均值不等式，然后便是大量的关于“应用均值不等式求最值”的操练，这种做法看似“实用、高效”，但却人为地割裂了数学与人文的联系，使得中学生眼中的数学更像是“X光下的西施”（项武义教授语）。那么，如何通过问题串来引导学生的思维活动，破解教学难点呢？首先需要明确以下几点：
        1.问题串的目标和重点
        问题串的目标应该围绕课堂教学的目标以及学生的认知困难去考虑，本课的问题串应该实现以下几个目标：
        （1）揭示基本不等式的几何意义。
        （2）揭示基本不等式的证明方法。
        （3）引导学生积极思考，培养学生的思维能力，关注学生的数学素养。
        2.问题串设计
        结合本课目标，笔者一共设计了三个问题串：
        问题串1：a2+b2≥2ab(a∈R,b∈R)。

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        （1）请大家观察课本封面插图，你能叙述本图来源吗？
        （2）“弦图”中蕴含了等量关系：勾股定理，你能结合弦图给出勾股定理的简要证明吗？
        （3）通过勾股定理的证明，你能发现弦图中蕴含的不等式关系吗？
        （4）从代数的角度，你能够给出a2+b2≥2ab(a∈R,b∈R)的证明吗？
        这个问题串呈递进式结构，通过问题引导学生层层深入，从几何直观到代数推理，全方位认识不等式a2+b2≥2ab(a∈R,b∈R)。最后教师介绍弦图的历史和文化，激发学生的兴趣和动机。
        问题串2：均值不等式的几何意义。问题串2以欧几里得《几何原本》中的命题为基本材料，引导学生认识基本不等式的几何意义：
        （1）在不等式a2+b2≥2ab中，我们用　a，　b代替a,b可以得到什么结论？a,b需要满足什么条件？
        （2）公元前300年古希腊数学家欧几里得在他编著的《几何原本》中对线段的几何中项和算术中项的定义如下：
        （i）设AB，BC是两条已知线段，若线段BD满足：AB:BD=BD:BC,则BD称为AB和BC的几何中项。
        （ii）设AB，BC是两条已知线段，若线段EF满足：AB+BC=2EF，则EF称为AB和BC的算术中项。你能在左边所给的圆中做出几何中项和算术中项吗？
        （3）用代数式表示几何中项与代数中项，你能发现（1）中的结论和几何中项及代数中项的关系吗？
        （4）你能在图1中比较算术中项和几何中项的大小吗？
        问题串3：基本不等式的证明。问题串3从不同的角度，采用了多种方法证明了基本不等式：
        （1）你能用代数方法证明你的结论吗？结合本题，教师重点介绍比较法、分析法和综合法。
        （2）英国大数学家沃利斯在研究等周问题时证明了以下的命题：“周长为定值的长方形中以正方形的面积为最大”。
        参考沃利斯的证明方法，你能给出均值不等式的另一证法吗？
        三、几点思考
        1.问题串能够引导学生主动思考
        合理的问题串设置可以有效激发学生的思维活动，并引导学生按照合理的思维路径积极思考，在此过程中，学生可能会产生新的思维火花，从而提出新的问题，将学习活动变成学生主动地探究。
        2.通过问题串能够识别学生的反应
        在探究活动中，由于学生经验背景的差异，他们对问题的理解常常有不同的表现，这些都折射出每位学生不同的知识水平、心理状态和思维能力，教师要认识到这种差异本身就是宝贵的学习资源。通过问题串的回答，教师能够及时把握学生的思维状态，及时调控自己的教学行为，收到良好的教学效果。
        参考文献
        [1]徐程微专题三十基本不等式的应用.中学数学教学参考，2018。
        [2]陈义明在教学中践行“三个理解”——以《基本不等式(第1课时)》的教学为例.数学通报，2017。