幸思学、龚贝凡
南京外国语学校 江苏南京 210014
摘要：针对一种空间六自由度可独立运动的全向多旋翼飞行器开展旋翼布置方向的优化设计方法研究。首先介绍了样例多旋翼飞行器的布置形式，以飞行器全向机动性最大化为设计目标，建立了不同平移和转动机动性设计要求的旋翼布置方向优化设计数学模型。采用了带约束的序列二次规划算法对旋翼布置方向优化设计问题进行了求解，分析了不同平移机动性和转动机动性优化设计要求对设计结果的影响规律，获得了一些有意义的结论，可为全向多旋翼飞行器的设计提供参考。
关键词：全向多旋翼飞行器；优化设计；机动性；布局设计
一．引言
常规多旋翼飞行器根据所采用的旋翼（升力螺旋桨）数目不同，一般可分为四旋翼、六旋翼、八旋翼飞行器等等。它们都具有垂直起降、空中悬停以及任意方向飞行的能力。随着现代低成本微机电系统、自动控制、新材料等技术的快速进步，小型多旋翼飞行器作为无人机平台以其便携、易操作、安全、成本低等优势在多个军民用领域得到广泛的应用。近年来，随着应用领域的不断拓展，多旋翼无人飞行器的工作空间环境也越来越复杂，对环境的适应性也提出了更高的要求，有的应用场景甚至要求飞行器与空间环境进行交互。例如，人机接触交互、大斜坡上垂直起降、高空幕墙清洗等等。
然而，从基本飞行操纵原理来讲，常规多旋翼飞行器主要通过姿态的直接控制来间接地控制飞行速度和方向。这类操纵方式与常规固定翼飞机和直升机相似，都是期望通过四个独立的操纵量来控制飞行器六个自由度的运动，不可避免的会产生姿态与速度的运动耦合，无法实现六个自由度运动的独立操控，从而限制了飞行器对复杂空间环境的适应性和交互能力。因此，发展空间六自由度运动可独立操控的多旋翼飞行器，对于提升多旋翼无人机复杂空间适应性和交互能力，拓展其应用范围和应用场景具有重要价值。
针对上述问题，国内外多个研究机构针对六自由度运动可独立操控的全向多旋翼飞行器开展了相关研究[1-11]，其中瑞士苏黎世联邦理工学院的Dario Brescianini等人[9]提出了一种全向多旋翼飞行器，该飞行器采用8个具有反转能力的旋翼，在空间中通过旋翼位置非平面布置和旋翼拉力方向交叉布置的方式，实现了具有平动和转动独立运动能力的全向飞行。由于该飞行器采用6个以上的操纵量（旋翼转速）控制飞行器6个自由度的运动，因此是一种过驱动系统，其旋翼布置的位置和方向也具有无穷多种实现方式。然而，旋翼位置和方向的布置不仅决定了该飞行器能否实现全向飞行，同时还影响全向飞行的性能和机动能力，这就决定了旋翼位置和方向的布置设计是该飞行器设计的关键之一。文献[9]尽管从优化设计的角度确定了旋翼布置方向，但其优化设计目标相对单一，且未能实现各方向平移机动性和转动机动性的最大化，因此其优化设计还有待进一步研究。
本文针对Dario Brescianini等人提出的全向飞行器中旋翼方向布置问题展开优化设计研究。以飞行器全向平移和转动机动性最大化为设计目标，以旋翼拉力单位矢量为设计变量，建立了不同平移和转动机动性设计要求的旋翼布置方向优化设计数学模型。采用带约束的序列二次规划算法对优化设计问题进行求解，分析了优化结果的合理性以及不同平移和转动机动性优化设计要求对设计结果的影响规律。
二．优化设计方法
2.1 全向多旋翼飞行器构型描述
为便于实现全向飞行，本文研究的全向多旋翼飞行器具有8个旋翼，每个旋翼桨毂中心布置在正方体的8个顶点，旋翼桨毂中心与顶点重合。每个旋翼都具有反转能力，产生正负两个方向的拉力（如图1所示），旋翼为定距螺旋桨，其拉力大小由旋翼转速控制。通过旋翼拉力方向合理的交叉布置，该飞行器可通过任意方向的力和力矩的独立操控，实现在任意姿态下向任意方向平移运动。为描述飞行器旋翼布局的几何特点，首先定义体轴系。体轴系以正方体的几何中心为坐标原点，过原点且垂直于正方体相邻的三个面的三条正交直线分别为x、y、z轴。不失一般性，假设正方体八个顶点分布于单位球面上，因此8个旋翼桨毂中心在体轴系下的位置坐标矩阵为：
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（1）
图1 全向多旋翼飞行器旋翼布置构型示意图
由于该旋翼飞行器的旋翼及其驱动系统均位于对称分布的立方体顶点，且假设该飞行器的立方体框架结构以及其它系统的重心均位于立方体几何中心，因此整个飞行器的重心仍然位于立方体几何中心。
2.2 优化问题的数学模型
该飞行器所受外力和力矩主要包括旋翼气动拉力、重力、旋翼气动反扭矩以及旋翼拉力相对其重心产生的力矩。由于旋翼气动反扭矩与旋翼拉力相对于重心产生的力矩相比小1~2个量级，因此在优化设计中忽略旋翼气动反扭矩的作用。
旋翼产生的气动拉力作用点在每个旋翼中心，拉力的方向沿旋翼旋转面的法线方向，那么个旋翼拉力相对于飞行器重心在第j个坐标轴方向的合力和合力矩分别为：
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其中，为第i个旋翼的拉力大小，为第i个旋翼拉力方向的单位矢量坐标列阵，第i个旋翼的位置坐标列阵，为的坐标方阵，为个旋翼的位置坐标矩阵，为个旋翼的拉力方向单位矢量坐标矩阵，为个旋翼的拉力坐标分量矩阵。显然第j个坐标轴方向的合力和合力矩是旋翼位置、旋翼布置方向以及旋翼拉力大小的函数。
针对平移运动，本文以第j个坐标轴方向上能达到的最大合力作为衡量该方向的平移运动机动性的度量，但为满足全向飞行中对6自由度运动独立控制的要求，该最大合力必须是在其它两个轴方向的合力和三个坐标轴方向力矩为零的条件下达到的最大。对于转动机动性，与平移机动性相似，以第j个坐标轴方向上能达到的最大合力矩作为衡量该方向的转动运动机动性的度量，且要求其它两个轴方向的合力矩和三个坐标轴方向力为零。由于本文主要针对在给定旋翼布置位置条件下，以综合机动性最优为设计目标，对旋翼布置方向进行优化设计，因此在优化问题中或为固定参数，而或为优化设计变量。在上述分析的基础上，给出如下优化问题的数学描述：
（1）优化目标函数：
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（6）
其中（）为平移机动性和转动机动性之间的权重系数，和分别为个旋翼在第j个坐标轴方向能产生的最大合力和力矩，目标函数的优化方向为使最大化。该优化目标函数一定程度上体现了该飞行器全向机动性（包括平移和转动）的优劣，且可通过权重系数的调整，根据实际需求改变对平移机动性和转动机动性的设计要求。特别地，时，实际上只强调对平移机动性的最优化，而当时，只强调对转动机动性的最优化。
（2）优化设计变量：
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(7)
包括个分量。
（3）约束条件：
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(8)
上述约束条件是对旋翼布置方向矢量作为单位矢量的约束。由于该约束条件对于优化设计变量而言是非线性的，因此该优化设计问题是一种非线性优化问题。
在优化设计目标函数中和分别为个旋翼在第j个坐标轴方向能产生的最大合力和力矩。根据前文分析，第j个坐标轴方向能产生的最大合力或力矩必须是该轴方向的力矩或力以及其它轴方向的力和力矩为零条件下的最大值。因此，在优化目标函数每一次计算中，实际上隐含了对和（共计6个）最大值的求解，即在优化目标函数计算中还包含了另6个最大值求解问题。该问题描述如下：
（1）目标函数：
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对于该最大求解问题，和均为已知参数。
（2）变量：
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包括个分量。
（3）约束条件：
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不是一般性，在该最大值求解问题中，将旋翼拉力最大幅值设置为单位力1。通过上述最大值求解问题的数学描述，可以看出该问题实际上是一个带变量范围约束的线性规划问题。
三．优化结果与分析
针对上述优化设计问题，本文采用序列二次规划算法对层非线性约束优化问题进行求解，在求解过程中采用内点算法对内部线性规划问题进行求解。
作为算例分析，分别取0,0.1,0.3,0.5,0.7,0.9,1，并对取不同值时的优化结果进行分析，获得旋翼布置方向随的变化规律。首先对，即平动和转动机动性的权重相等时旋翼布置方向进行了分析。以下为优化结果：
表1旋翼布置方向单位矢量优化设计结果，
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观察表中数据，发现各个顶点旋翼布置方向单位矢量的优化结果在三个主方向上的分量绝对值基本相等（数值误差导致不相等），具有高度的对称性。其最大综合机动性指标达到了12.8，每个方向最大力和力矩均为3.2。这说明，在本文定义的综合机动性指标意义下，当平移和转动机动性权重相同时，优化结果使得各方向可达到的最大力和力矩是相等。下面给出图形结果，更为直观地展现优化结果。
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优化结果体现出的高度对称性主要是由于飞行器旋翼布置位置节点位于为正方体的各顶点，其本身就具有高度的对称性，同时正方体的顶点均位于单位球面上，即力矩的力臂长为1，所以理论上最大力和由最大力产生的力矩在数值大小上是相等的。
在此基础上，对取0,0.1,0.3,0.5,0.7,0.9,1的优化结果进行分析（见表2）。发现当时，旋翼布置方向在三个坐标轴方向的分量为，，，而时，为，，。通过结果分析可知，当时，平移和转动机动性权重不同，发现此时各方向可达到的最大力和最大力矩并不相等，说明本文设计的优化目标函数确实可以实现对平移机动性和转动机动性不同设计要求的优化设计。由表2可知，最大目标函数值出现在的情况，但它是只强调平移机动性最大化而不考虑转动机动性最大的结果，因此并不实用。当时，情况类似。
表2旋翼布置方向单位矢量优化设计结果（不同权重系数）
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图6-9中给出了第一个旋翼最优布置方向随着的变化情况，其中图6为三维图，图7-9分别是三个方向的二维视图。图10中给出了第一个旋翼最优布置方向单位矢量的三个分量随着的变化情况。可以看出，旋翼布置方向单位矢量随着变化而逐渐从的情况过渡到的情况。
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图10 旋翼布置方向单位向量分量优化结果随变化
从图9可知，优化结果是z方向观察，发现从0变化到1时旋翼布置位置方向单位矢量处于同一平面，该平面法向量为。
本文获得的上述结果尽管是针对旋翼布置在正方体顶点的全向飞行器，然而由于本文的优化问题数学模型是通用的，可以适合旋翼布置位置的全向多旋翼飞行器。
四．结论
本文针对一种全向多旋翼飞行器的旋翼布置方向进行了优化设计方法研究。以飞行器全向机动性最大化为设计目标，建立了不同平移和转动机动性设计要求的旋翼布置方向优化设计数学模型。通过样例飞行器的优化设计结果分析，验证了本文优化设计方法的有效性，并获得了一些有意义的结论，可为未来全向多旋翼飞行器设计提供支撑。
参 考 文 献
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