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摘要：论文旨在研究系统性房价波动风险对房地产反向抵押贷款市场的影响及其规避方法。基于建立的有赎回权的期权定价模型和VaR风险价值模型。以福州市为例进行实证分析，估量出合理贷款额度来规避房价市场系统性风险。
关键词：反向抵押贷款；房价波动风险；期权定价模型；VaR风险价值模型
前言：房地产反向抵押贷款是实现以房养老的重要金融工具，也是一种新型的金融产品。它是指老年人以拥有产权的住房做抵押，向银行或其他金融机构借款消费，同时老人仍然能保留房屋居住权的一种融资工具。主要做法是，老年人将住房抵押给银行或特定金融机构，以取得用于养老的贷款，在去世之后银行或特定金融机构取得房屋所有权。由于其现金流向与传统的抵押贷款相反，像是把住房抵押贷款业务反向来操作，如同金融机构用分期付款的方式从借款人手里购买房屋，以此在美国实践中最先被称为“反向抵押贷款”。由于中国人口老龄化愈来愈严重，中国的养老对政府社会的压力也愈来愈大。在中国实行反向抵押贷款已经是势在必行。但是在中国真正全面推出反向抵押贷款业务前，还需将国外在住房反向抵押贷款取得的成功经验与中国实际的情况结合，并且需要一段实践检验的时间。对于反向抵押贷款市场的贷款机构而言，出售持有的房产时回收贷款于借款人资金的唯一方法。因而房价波动会给贷款机构带来很大的风险。所以如何控制和规避房价波动风险对于贷款机构来说尤为重要。这也是为中国将来实行反向抵押贷款业务所做的铺垫性研究。本文是站在贷款机构的角度来分析房价波动风险，并提出规避房价波动风险的合理措施。
1 建立反向抵押贷款市场定价模型
1.1 模型假设
首先，相对与没有赎回权的反向抵押贷款模式，有赎回权的反向抵押贷款模式对于借款人而言虽然要付出一定的赎回权费用，但是保证了借款人及其继承人能够享尽用于反向抵押贷款的房屋价值，规避了借款人因突发不可抵抗因素造成的死亡带来的风险，同时也使借款人分享到了房屋升值带来的收益。因而，本文建立的反向抵押贷款市场模型假设借款人拥有赎回权。其次，本文假设借款人收到贷款机构发放的贷款是在每年年初收到的等额款项。
1.2 Black-Scholes看跌期权定价模型
Black-Scholes看跌期权定价模型。由于在有赎回权的反向抵押贷款模式下，借款人对贷款的偿还方式有了选择权，即隐含了期权。贷款本息总额（S）就相当于标的资产的执行价格（X）。面对住房未来价值（H T）在贷款期内不断变化，借款人享有一项权力：当 H T < S 时，借款人执行期权，让贷款机构收回住房，少偿还数额为S - H T的贷款；当 H T ≥S 时，借款人不执行期权，只要偿还S，即可将住房的抵押权赎回，保留增值的住房。
1.3 模型推导
（1）执行价格X
通过对比一次性支付方式与终生等额年金支付方式，得到执行价格表示：
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（1-1）
其中，λ 为得到的贷款本息现值占住房初始评估价值的比例；
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为住房的初始评估价值；
r 为反向抵押贷款利率；
T 为期权合约的有效期。
（2）合约有效期T
由于每个借款人的寿命都是不确定的，在大数定律的作用下，每个年龄段得借款人的平均寿命可以根据中国人寿保险业经验生命表（2000- 2003）查取某一年龄不同性别借款人群体的平均余命，从而确定出期权合约的有效期T。
（3）期权费用P
根据看涨——看跌期权平价原理，Black-Scholes期权定价模型下看跌期权价格P可以表示为：
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（1-2）
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（1-3）
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（1-4）
式中：P 为当前 t 时刻看跌期权的价格；
N（
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）、N（
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）为随机变量服从标准正态分布时变量值小于
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、
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的概率；
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为连续复利形式的无风险利率；
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为以续复利形式表示的房价波动率。
1.4 模型应用
无风险套利模式。通过上文建立的模型，我们已经得到了看跌期权价格P和贷款人收到的年金支付A两个重要参数的计算公式。现在假设贷款机构向其他金融机构借入一系列与贷于借款人的现金流等额相反的现金流。其中，
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为借入现金流的年利率；
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为每期借入现金流的折现值之和。同时，贷款机构为了扎平等同于签出看跌期权的赎回权的多头头寸，将会也购买一份欧式看跌期权来平仓多头风险。由此可得：
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（1-5）
根据无风险套利理论，贷款机构的现金流之和在期末应为0，也意味着现金流出应该等于现金流入，即有：
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（2）模型综合代入可得：
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（1-6）
由（1-2）可知赎回权费用P是房屋价格波动率
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的一个函数。又由（1-6）得知赎回权费用P与贷款本息现值占住房初始评估价值的比例λ存在等式关系。通过（1-2）和（1-6）就将
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和λ联系起来了。这就为通过合理控制λ来规避房屋价格波动风险提供了一个思路。
2 房价波动风险
从房价波动的整体与局部上来看，存在系统性的风险和非系统性的风险，对房价造成整体或局部造成上扬或下挫的影响。此处分析的是假设贷款机构面对系统性风险时，即面临所持未来房产所有权下，房产价值下挫造成的风险。因而本文引入风险价值模型（VaR模型）来度量房屋价格波动风险，从而估算出房屋价格最大的波动率。
2.1 房价波动风险的衡量
2.1.1 建立VaR模型
VaR是指在某一给定的置信水平下，资产组合在特定持有期内最可能遭受的最大损失，即在该置信水平下，对应于资产组合未来损益的最坏情况。在数学上也就是资产组合损益序列的分位数。2）VaR模型公式推导。以未来房产价格的期望值为参照，则称作相对VaR（Relative VaR）。其基本计算公式为：RVaR=E（
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）-
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。通过分析，将得到：
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（2-1）
综上所推，就得到了能运用于计量房价波动风险的公式：
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。
2.1.2 数据整理检验
选取2010年6月起至2020年6月的121个福州市房地产价格指数来表示房价。以房地产价格指数每计数期内的变化率为持有房地产资产的收益率。取房地产资产收益率的对数，来验证其分布的特点。首先，根据所得数据做出对数收益率的直方分布图，能从形态上推断出对数收益率的分布大致呈正态分布。其次，对于数据进行Q-Q检测。Q-Q检测以样本的分位数作为横坐标，以按照正态分布计算的相应分位点作为纵坐标，把样本表现为指教坐标系的散点。经检验样本点呈一条围绕第一象限对角线的直线，说明数据服从正态分布。再次，对于偏度系数（Skewness）和峰度系数（Kurtosis）的检验。数据检验得到的偏度系数为0.644，说明对数收益率呈正偏态性。峰度系数为0.514说明对数收益率分布图偏陡峭。最后，对于Tests of Normality 的非参数检验即：Kolmogorov-Smirnov Z检验。在95%的置信区间内Kolmogorov-Smirnov Z检验的p值大于0.05，说明检验不能拒绝对数收益率为正态分布的原假设。因而证明了对数收益率大致呈现正态分布。综上所述，对数收益率~N（0.003386，
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）的正态分布。
2.1.3 房价波动率福州市实证分析
（1）前提假设 ① 假设有八个年龄段的男性借款人于2021年初向反向抵押贷款机构申请反向抵押贷款业务借入资金。八个年龄段分别是：62岁、64岁、66岁、68岁、70岁、72岁、74岁、76岁。通过查阅中国人寿保险业经验生命表（2010—2013）养老金业务男表，得出这八个年龄段得男性借款人的平均余命即持有期分别为：21年、19.4年、17.8年、16.3年、14.8年、13.5年、12.1年、10.9年。②由上节数据整理中求解得到的结论：福州市房价指数的对数收益服从正态分布即对数收益来~N（0.003386，
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）。可以推知σ=0.0157826。③
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在90%置信水平下，
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=1.64。④ 计2021年初的房价指数为
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。（2）数据代入求解。按不同的年龄段将以上数据分别代入公式（2-1）得：
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=0.1186
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。这意味着62岁借款人在21年的平均余命年限内可能遭受房价指数波动造成的相对最大损失为0.1186
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。当以2021年初的房价指数为基准，则得到以连续复利形式表示的房价波动率公式：
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（2-2）
代入（2-1）可得62岁借款人的以连续复利形式表示的房价波动率：
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=ln（1+0.1186）=0.1121=11.21%。同理，可以计算其余几个年龄段的
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。
3 控制合理贷款额度比例λ——福州市实证分析
通过第一章的分析，我们构建了房屋价格波动率
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与贷款本息现值占住房初始评估价值的比例λ二者都关系式。通过第二章的分析，我们估算出了八个不同年龄段得男性借款人在持有期内的最大房屋价格波动率
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。本章先将以求出的房屋价最大格波动率为上限，分别合理估算出八个不同年龄段借款人的贷额度款比例λ。再提出用合理的贷款额度比例λ来控制房屋价格波动的重要实践意义。
3.1 估算合理贷款额度比例
3.1.1 前提假设
①假设参加房地产反向抵押贷款的八个不同年龄段的借款人所拥有的房产价值：
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=100万人民币。② 连续复利形式的无风险利率
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。用一年期定期存款的基准利率作为无风险利率。2020年初金融机构一年期定期存款基准利率为：1.75%。③贷款机构向其他机构借入资金组成的无风险套利模式的现金流的利率
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包含正常的成本和合理的利润。根据2019年银行业统计的资产利润率一般不超过0.965%；其他成本较小故假定为0.1%。在加上之前得出的无风险利率1.75%，则可以得到贷款机构向其他金融机构借入现金流的利率
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为：2.82%。④ 对于反向抵押贷款的利率r用中长期贷款利率来近视替换。根据银行业统计，2020年初，银行五年以上中长期贷款利率为4.9%，即r=4.9%。
3.1.2 求解贷款额度比例λ
将已知数据代入公式（1-2）~（1-4），再用试算法就能得到λ的取值。具体情况详见下表。
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表3-1
3.2 贷款额度比例λ分析
上节试算得出的贷款额度比例λ是在建立的VaR模型下求解出来的，即假设贷款人面临最大的房价波动风险时，试算值为贷款额度比例λ的上限。这意味着，在实践中，贷款机构应以试算值为基础上限标准，对借款人的贷款额度比例λ应控制在试算值之内。依此法，贷款机构就能将房价波动风险控制在最小范围之内，从而达到规避房价波动风险的目的。从所得贷款额度比例λ值观察发现，随着借款人年龄的上升，贷款额度比例λ也随之上升。这是由于高年龄的借款人的平均余命较小。贷款机构面临的房价波动风险也相对较小，因而贷款机构能放宽贷款额度比例λ。
3.3 小结
本章通过前面建立的房地产反向抵押贷款的定价模型与房价波动风险估量模型，分析研究对于不同年龄段的借款人，得出贷款机构应控制合理贷款比例λ以及估量出贷款比例λ的最大限度，从而为规避房价波动的市场系统性风险提出了可行了措施。
结论：
通过对市场系统性房价波动的分析研究，根据房地产反向抵押贷款市场定价模型和房价波动风险计量模型，论文分析了得出了贷款机构如何规避房价波动风险。论文取得的主要成果是：市场系统性风险下控制合理贷款比例λ，对于贷款机构面对不同年龄段的借款人时达到了规避房价波动风险的目的。
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