杨丽苹
太原师范学院教育学院 030012
摘要：随着新课程改革的不断推进，现有的课堂教学模式已经很难适应教育的发展.因此，小组合作学习教学模式成为目前数学教学中经常使用的手段.培养学生几何直观与逻辑推理能力是数学核心素养的重要内容，本文通过几个案例分析说明树立基本图形观念是培养学生几何直观能力的重要途径之一，在几何直观下将复杂图形分解成基本图形以解决问题，在几何直观下合理添加辅助线构造基本图形探索解题思路．最后给出培养几何直观能力在课堂教学过程中的几点建议:1加强学生对“基本图形”的学习;2初中数学教学中必须培养学生的几何直观能力．小组合作的形式可以带动所有学生学习几何的热情，从而互相学习，带动所有的学生共同发展.此外,可以互相订正，体会数学逻辑的严谨性，这对论证几何的教学大有裨益.
关键词：初中数学；几何直观；合作学习
数学家波利亚说过，一个人对图形的直观判断能力是学习数学的基础．我们知道，数学是研究数量关系与空间结构的学科．但是以往的教学模式是纸上谈兵，无法给予学生清晰直观的理论推论过程，也无法帮助学生深入地探究概念，从而揭开几何图形后的神秘面纱．所以，在初中数学教学中教师要切实的培养学生的几何直观能力，引导学生发挥几何直观能力的作用，从而切实提高课堂教学效果．目前初中数学教学过程中，以学生为主体的课堂成为主流.新课程倡导学生学习模式的转换，因此，“自主、合作、探究”的学习模式成为初中数学课堂教学的常态.合作学习的实质是教师根据学生的特点分组划分，引导学生通过与其他同学合作、探讨，共同完成学习任务，从而让学生在合作学习过程中提升与同学合作的意识，培养自身的自主学习能力，进而提高学生的数学核心素养.
1树立基本图形观念是培养学生几何直观的重要途径之一
直观想象是普通高中数学课程标准修订专家组提出的普通高中数学学科核心素养之一．“直观想象指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程．”直观想象包括:利用图形描述、分析数学问题．直观想象的这部分内容实际上就是初中的几何直观．几何直观是《义务教育数学课程标准(2011版)》提出的十大核心概念之一[1]．“几何直观主要指的是利用图形描述和分析问题．借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果．几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用．”几何直观是直观想象的基础，在初中阶段培养学生的几何直观直接为高中阶段养成直观想象的核心素养奠定基础．几何直观在问题解决中可以帮助学生从复杂图形中分解出简单的、基本的图形，从基本图形中寻找出基本元素及其关系，由此将复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果．基本图形观念是指学生能够利用基本图形解决问题的意识．由此可见，树立基本图形观念是培养学生几何直观的重要途径之一．
1.1在基本图形观念下将复杂图形分解成基本图形以解决问题
案例1如图1所示，BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC．求证:四边形ABDF是平行四边形．
.png)
图1
案例分析本题涉及的基本图形有三线八角基本图形(如图2所示)、线段垂直平分线基本图形(如图3所示)、平行四边形的基本图形(如图4所示)．在基本图形观念下，学生熟知线段垂直平分线的图形及其中的基本元素及关系，因此，由线段垂直平分线的基本图形易得∠BCD=∠BAD，从而∠BAD=∠ADF，在三线八角基本图形中由∠BAD=∠ADF得到AB平行于FD，再由题设条件AF⊥AC和BD垂直于AC，在三线八角基本图形中得到AF平行于BD，从而证得四边形ABDF是平行四边形．
图2
.png)
图3 图4
在教学过程中可利用思维导图进行引导：
.png)
图5
1.2在基本图形观念下合理添加辅助线构造基本图形探索解题思路
案例2如图6所示，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=BD，∠DOC=60°，求证:AB+CD＞AC．
.png)
图6 图7
案例分析本题涉及的基本图形有等边三角形、平行四边形．学生在基本图形观念下，由问题:“AB+CD＞AC”可想到三角形的三边关系，由此需要构造一个与AB，CD，AC相关的三角形．由已知条件“AC=BD，∠DOC=60°”可联想到基本图形“等边三角形”，通过平移AC(或者BD)可得到等边三角形BDE，同时得到一个平行四边形ACEB和三角形DCE，如图7所示，将AB，AC转化到CE，DE，从而利用三角形DCE的三边关系得到“AB+CD＞AC”．
在教学过程中可利用思维导图进行引导:
图8
.png)
2联系生活教学，推进几何直观教学
数学与实际生活有着不可分割的联系，生活中随处可见数学的身影．而在探索数学知识时，需要借助现实生活中的事物，来解决问题．徜徉于几何直观知识的海洋中，学生需要充分利用实物图形的作用，进行详细的描述与分析，理解抽象化的几何图形知识，再以相同的步骤对待抽象化的几何图形．在抽象、具体中培养学生的逻辑思维，是提升学生数学素养的有效途径．例如，在教学“一元一次方程”时，就联系生活教学讲述这样的故事:“希腊数学家丢番图的墓碑上记载了他的一生:无忧无虑的童年占据了生命的六分之一;又经历了生命的十二分之一，浓密的胡须爬上了双颊;接着，走进了婚姻的殿堂，走过了生命的七分之一;他的儿子出生在五年后，幸福的时光来临;可惜儿子只留存了丢番图生命的一半就过世了;沉溺于失去儿子的悲痛中，他又度过了四年，也终是离世了．”以问题中的信息为准，解答出:(1)丢番图的最终的年龄;(2)丢番图获得儿子的年龄;(3)儿子逝世时，丢番图的年龄．这个问题与生活有着紧密的联系，只有熟悉了各种数据、数据与数据之间的关联，才能准确地进行解答．
3利用课件演示，丰富学生几何直观课堂认知
众所周知，以前的数学课堂是教师的讲解与黑板中数字与图形．这种枯燥乏味的语言讲解式教学，常常令学生失去探索的欲望．随着信息技术与计算机技术的快速发展，多媒体技术进入了数学课堂．教师可以利用多媒体设备，借助多媒体教学中丰富多彩的视频、图片、声音等，创设一个生动有趣的教学环境，帮助学生摆脱厌学的困扰．以多媒体形式展示“几何直观”的知识内容，更能激发学生的好奇心与求知欲，激励学生用于参与课堂，培养学生的几何直观能力．例如，在教学“圆与圆的位置关系”时，我们知道圆与圆的位置随着距离的改变而改变，演变出不同的位置关系．仅仅依靠教师的讲解与黑板、粉笔的演示，是无法清晰直观地向学生呈现位置变化的规律，这时候，教师可以利用多媒体设备，丰富课堂体验．首先，教师可以课前导入动画课件，一个圆的位置、大小保持不变，另一个圆以不同的位置呈现外离、外切、相交等等的现象，以全新的、直观的观看体验，帮助学生理解知识点，并巩固加强．相较于教师在黑板上的演示，多媒体技术更加的方便快捷，给予学生清晰、直观的学习体验，帮助学生准确无误地进行理解．
4联系生活教学，推进几何直观教学
数学与实际生活有着不可分割的联系，生活中随处可见数学的身影．而在探索数学知识时，需要借助现实生活中的事物，来解决问题．徜徉于几何直观知识的海洋中，学生需要充分利用实物图形的作用，进行详细的描述与分析，理解抽象化的几何图形知识，再以相同的步骤对待抽象化的几何图形．在抽象、具体中培养学生的逻辑思维，是提升学生数学素养的有效途径．例如，在教学“一元一次方程”时，就联系生活教学讲述这样的故事:“希腊数学家丢番图的墓碑上记载了他的一生:无忧无虑的童年占据了生命的六分之一;又经历了生命的十二分之一，浓密的胡须爬上了双颊;接着，走进了婚姻的殿堂，走过了生命的七分之一;他的儿子出生在五年后，幸福的时光来临;可惜儿子只留存了丢番图生命的一半就过世了;沉溺于失去儿子的悲痛中，他又度过了四年，也终是离世了．”以问题中的信息为准，解答出:(1)丢番图的最终的年龄;(2)丢番图获得儿子的年龄;(3)儿子逝世时，丢番图的年龄．这个问题与生活有着紧密的联系，只有熟悉了各种数据、数据与数据之间的关联，才能准确地进行解答．
4.1图景结合教学，培养学生思维想象力
思维能力是数学核心素养的首要因素，而想象力是几何直观中必备的能力．随着教学模式的不断更新，教师更注重学生的课堂体验，创设许多生动有趣的教学情境，给予学生丰富多彩的学习感官体验，不断地激发学生的学习欲望，激励学生自主探索、积累，培养学生的直观感知能力，拓展思维空间，构建灵活的逻辑思维．例如，在分析矩形、菱形的差异与相同点时，教师可以开展实践活动，发挥学生的动手操作能力，制作灵活变动的平行四边形，巩固学生对四边形的理解．在前面的课堂，已经学习过了平行四边形，学生熟知了其的特性，矩形与平行四边形又有着一定的关联与差异，以此来作为学习矩形的工具，去撬开矩形世界的大门．在探究的过程中，教师要适时给予一定的指导，将平行四边形的边进行转动，呈现90°角，接着，要求学生观察此时的四边形与之前的平行四边形的不同之处．学生观察得出:后面的四边形四个角都是直角且对边相等．创设这样的教学情境，不仅可以引导学生全身心地投入课堂，还可以激发学生的探究欲望，提高学生的几何直观能力.
4.2以恰如其分的评价，激发教学的兴奋点
所谓的“课堂点评”，是指教师对学生的课堂状态所做的一个综合性的评价.而激励性、鼓励性、真实性、丰富性相结合的合理评价，可以使课堂成为学生流连忘返的殿堂，激发学生学习的积极性，激活学生的数学思维，并促进个性的发展.比如，每学期开学都会开设“开学第一课”，并创设多个交流环节，促进师生感情的迅速升温，与学生产生心理上的共鸣.某位学生在自我评价环节中，发出以下感慨：“我感觉自己的数学学习能力比较差，理解时容易卡壳.”教师做出了如下评价：“我认为你这样武断地评价自己是大错特错.谁给出了这样的定义？如果我在言语中让你有如此的感受，那我必须向你郑重道歉；如果是其他老师，我也替他们向你表示真诚的歉意.老师认为，你是一个积极思考、阳光向上的孩子，希望你卸下这子虚乌有的包袱，轻松快乐地学习，加油！”借助这次真情流露的情感沟通，将老师与学生的距离越拉越近，为课堂教学注入了一股新鲜的血液.其实，教师教学的过程，不仅是传递知识的过程，更是师生间实现情感互动交流的过程.因此，教师应放下身段，给予学生更多的关爱、包容和鼓励，在情感交流中打造高效课堂.当然，在数学课堂教学中，适时对学生的解题方法进行精准合理的点评，可以不断启迪学生的思维，激发学习中诸多兴奋点，提升学生的学习能力.教学实践过程，合作研究探究新知的过程是浅入深出的，所以学生容易接受，也是激发学生创造力的过程，同时是小组合作价值的重要环节.在这个环节中，教师关注学生活动的设计，研究如何利用合作来探究、归纳新知.
案例分析：
师：今天我们来继续研究证明举例.我们来看任务单上的问题1（即下面的探究活动）.（完成方式：独立思考，小组代表全班展示）
如图9，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为D，求证：AB=AC
.png)
图9
生1：只需证明△ABD≌△ACD（板书），即可得AB=AC.
师：你的依据是什么？
生1：ASA.
师：“ASA”分别指什么？
生1：∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠ADB=∠ADC.
师：要证“AB=AC”这个结论，我们只需证明△ABD≌△ACD.像这样从结论出发的证明分析方法，是由果索因（板书）.通过这个问题，我们发现可以根据什么来得到线段相等？
生1：全等三角形的性质.
师：你们小组讨论一下，还有什么方法可以解决这个问题，然后分析一下思路.生2：由∠B=∠C得AB=AC，理由是“等角对等边”.我是从条件中找到证明方法的.
师：很好，所以你的分析方法是由因导果.可见，证明线段相等，我们既可以从结论“AB=AC”出发，通过全等三角形的性质来证明线段相等，又可以从条件出发，利用等腰三角形的判定来证明线段相等.
学生展示交流后，师生小结：证明线段相等的方法：（1）全等三角形的性质；（2）等腰三角形的判定和性质.证明分析的方法：（1）由果索因；（2）由因导果.
5培养几何直观的教学建议
5.1加强学生对“基本图形”的学习
加强对教材中概念、定理、公理所对应的“基本图形”的学习．熟识基本图形和基本图形的基本元素及其关系所对应的文字语言，符号语言，做到由此及彼．能由基本图形得到它所对应的基本元素及其关系的文字语言信息和符号语言信息，也能由描述基本元素及其关系的文字语言信息和符号语言信息联想其所对应的基本图形．总结教学中常见的例题，习题所对应的基本图形，进行归纳和学习．熟识基本图形和基本图形的相关结论所对应的文字语言、符号语言，做到由此及彼．能由基本图形得到它相关结论的文字语言信息和符号语言信息，也能由描述相关结论的文字语言信息和符号语言信息联想其所对应的基本图形．在日常教学中训练学生利用“基本图形观念”在复杂图形中分离出基本图形．在问题解决中，有意识地让学生利用“基本图形观念”通过添加辅助线构造基本图形，寻找解题思路．
5.2初中数学教学中必须培养学生的几何直观能力．
几何直观能力不仅是一个探究数学知识的过程，它更集动态性、模型性、抽象性、具体化于一身．充分利用几何直观能力，可以培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养．所以，我们应该把培养学生的几何直观能力贯穿到平时教学中.
总之，数学课堂教学中，教师要借助精炼的教学语言，创设平等和谐的师生关系，增强学生学习的信心，点燃学生学习的火花，提升课堂教学效益，以培养学生的数学核心素养，打造高效数学课堂.
参考文献：
[1]史宁中主编．义务教育数学课程标准（２０１１年版）解读［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０１２：７２.
[2]傅佑珊．平面几何基本图形与解题分析［M］．北京:地质出版社，1985.