杨展鹏
江汉大学人工智能学院
摘要：极限理论是近代数学的重要思想， 而数学分析就是以极限定义为基础，以极限理论为工具的一门学科。极限思想更是一种思维的模式，让我们的认知从不变到变，从量变到质变，从近似到精确。本文将对极限思想在数学分析中的应用进行分析。
关键词：极限思想；极限理论；数学分析
1.引言
极限理论在数学分析中的应用最直接的体现就是解决数学分析中的问题，是数学分析最基础， 却最重要的内容。 它以各种各样的形式出现， 并贯穿于数学分析乃至高等数学的全部内容，是其核心之所在。随着现代数学的发展与完善，极限是解决现代数学问题的关键、有效方法，这是由于极限理论可建立在较为普通的数学空间，促使数学求解方法由传统的有限范围转到现代的无限范围，同时也是从近似到精确的过程。例如，极限理论包含的数学解题思路充分利用常量与变量之间的对立关系、无限与有限之间的内在联系，解释曲面面积、曲线长度等问题的出现原因，即数学家运用极限思维对应用数学教学进行深入阐述。
极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，可以说数学分析中的几乎所有的概念定义都离不开极限，几乎所有的数学分析著作都是先介绍函数极限的思想方法，然后给出导数、连续、定积分、级数的敛散性、重积分、多元函数的偏导数、曲线积分与曲面积分的概念。下面我们将从导数，级数和积分三块内容来结合实例探讨极限思想的体现与应用。
2.极限思想在导数中的应用
导数是微积分学中重要的基础概念，是函数的局部性质。导数最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引人的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题:已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线。这是由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和几何学过程中建立起来的。
①瞬时速度：设一质点作直线运动，其运动规律为。若为某一确定时刻，为临近于的时刻，则是质点在时间段（或）上的平均速度。若时的平均速度的极限存在，则称极限为质点在的瞬时速度。在计算诸如物质比热，电流强度，线密度等问题中，尽管它们的物理背景各不相同，但最终都归结于讨论形如的极限。
②切线的斜率：曲线在其上一点处的切线是割线当动点沿此曲线无限接近于点时的极限位置。由于割线的斜率为，因此当时如果的极限存在，则极限即为切线的斜率。
上面两个问题，前一个是运动问题，后一个是几何问题，但是它们都可以归结于形如的极限，这就是导数的定义。
3.极限思想在定积分中的应用
不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题。求不定积分是求导数的逆运算，定积分则是某种特殊和式的极限，下面我们探讨定积分中极限思想的应用。
在定积分概念中，数学分析教材上常用的引例是求曲边梯形的面积，求面积的过程是：①分割：将曲边梯形分成个小曲边梯形。②近似：以小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积。③求和：求出个小矩形的面积和，近似代替曲边梯形的面积。④取极限：得出曲边梯形面积的精确值。在步骤④中，取，当时，的过程中，由常量变成（即由常量变成了变量），以及相应的曲边梯形的面积由近似值变成精确值，这是一个量变到质变的过程。也就是极限在时导致质变的发生，完美体现了极限思想的作用。
通过引例，认识定积分概念中辩证思想的过程，这也是一个深刻理解由“近似”到“精确”这个根本性质的改变过程，也理解了“直”与“曲”，“变”与“不变”这些极限本质的联系及互相转化的依据，借助极限思想进一步理解定积分概念的内涵。
4.极限思想在级数中的应用
观察数列，当自然数逐渐增大时，随之逐渐变小，但不论如何增大，始终是一个正数。显然这是一个量变的过程，因为尽管随着增大一直在变小，却仍旧保持着“是一个正数”的性质。然而这一极限结果改变了“是一个正数”的性质，或者说“是一个正数”的性质随着无限增大而消失了。这虽是一个简单的例子，但是已充分说明了极限过程是由“量变”到“质变”的过程。
对于正项级数收敛性的判别原则，在实际使用时，比较原则的下述极限形式有时更为方便。和是两个正项级数，若，则①当时，级数，同时收敛或同时发散；②当且级数收敛时，级数也收敛；③当且级数发散时，级数也发散。
这个定理可以用来判别无穷级数的敛散性问题。
实例 无穷级数是发散的。实际上当时，，所有当时有，而级数发散，于是由定理可知是发散的。
5.结语
在求当时的极限问题，要求必须在内有定义；当时，必须在内有定义，其他情况类似。函数极限也有唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性、迫敛性和四则运算等性质。
数学分析中定积分的微元法实际上就是定积分概念中极限思想的运用。例如用微元法求弧长时，先对弧段进行分割，用线段长近似代替每一小段弧长的长度，然后得到弧长和近似值。这个用微元法求弧长的过程，体现着“近似值”到“精确值”，“曲与直”这种量变到质变的过程，就是用辨证思维来求解数学问题。再如求变量沿直线做的功。通过对位移的分割，用常量做的功来代替分割后的功，然后得到功的近似值与精确值的过程，这也是运用极限辩证思维“变与不变是相对的”在解题。通过应用极限思想，我们能进一步理解并掌握从量变到质变、对立统一思想，从而运用于类似的实际问题。
随着现代社会的发展，数学分析对数学领域的发展、研究起到主导推动作用。因此，数学家应充分认识函数极限理论的重要性，并将其灵活应用于数学研究的实际过程中，从而带动数学领域的进步与发展。
参考文献
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