方超飞
福建省厦门集美中学
研究背景：在人教版高中数学课本里有这样一道题：求正方体表面所在平面把空间分割成的部分数.由此启发研究常见的多面体分割空间的问题.
知识准备：一条直线被其上的d点分割为d+1个部分，而一个平面被不共点的条直线分割成多少部分呢？第一条直线把平面分为两部分；第二条直线与第一条直线有一个交点，被分为两段，每一段把所在平面分为两部分；第三条与前两条直线有两个交点，被分成三段，每段把所在平面分为两部分，……，以此类推.所以一个平面被l条直线分割的数量P为该平面被l-1条直线分割的数目加第l条直线被分割的数目.由此推断：一个平面被l条直线分割为p=l+d+1个部分(d是l条直线的交点个数，这里不研究三条或三条以上直线共点的问题).这个方法有时候也可以类比解决平面分割空间的问题.
1 正棱柱分割空间的部分数
在正N棱柱中，先研究侧面分割空间的问题.当N为奇数时，根据上述公式p=l+d+1，正N边形各边所在直线把平面分割为C
2N+n+1部分（C
2N为各边所在直线的交点个数）（下图1为正五边形分割平面示意图），由此类比推出，正N棱柱的侧面所在平面把空间分割为部分C
2N+N+1.用上底面切割侧面，则把各部分空间一分为二，再用下底面切割侧面，则又把上底面以下各部分空间一分为二，因而正N棱柱各面所在平面把空间分为3(C
2N+N+1)=3/2N(N+1)+3部分.当N为偶数时，因为正N边形有N/2对平行线，它们没有交点，因而正N边形各边所在直线把平面分割为C
2n+N/2+1部分（图2为正六边形分割平面示意图），由此类比推出，正N棱柱的侧面所在平面把空间分割为C
2N+N/2+1部分，因而正棱柱各面所在平面把空间分为3(C
2N+N/2+1)=3/2N
2+3部分.
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2 正棱锥、正棱台分割空间的部分数
先研究正N棱锥侧面所在平面分割空间问题.记n个侧面分割空间的部分数为an,第一个平面把空间分为两部分，第n个平面与前n-1个平面有n-1条共点交线，则第n个平面被分成2(n-1)部分,每个部分把所在空间分为两部分，则有a1=2，an=an-1+2(n-1).由此推出aN=N2-N+2，即正棱锥侧面所在平面把空间分为N2-N+2部分.
例题：求正八面体各面所在平面分割空间的部分数.
解析：由前面结论可知，4个共点表面所在平面把空间分成14部分.其余的面按时针顺序排列，第5个面所在平面被前4个平面所在平面分成7部分（如图4），第6个面所在平面被前5个平面所在平面分成9部分（如图5），第7个面所在平面被前6个平面所在平面分成13部分（如图6），第8个面所在平面被前7个平面所在平面分成16部分（如图7），因此正八面体各面所在平面分割空间的部分数为14+7+9+13+16=59.
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依照上面所述方法，可以求出一般几何体表面所在平面分割空间的部分数.