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立足折纸实验，导向几何本质——以《用正方形纸折30°角》一课为例

发表时间：2021/2/4 来源：《中小学教育》2021年2月1期作者：金晓强

[导读]

金晓强浙江省嘉兴海宁市丁桥镇初级中学
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982（2021）02-041-02

        新课标指出，数学教学必须注意从学生的生活情境和感兴趣的事物出发，为他们提供参与的机会，使他们体会到数学就在身边，对数学产生亲切感。这就要求教师有一双善于发现的眼睛，挖掘身边的数学资源，为学生提供一个有趣的、与自身息息相关的学习内容，使学生在探究、发现的过程中，提升观察力、创造力。在数学实验中，学生能够学习自己需要的、喜欢的数学，在学中玩，在玩中学，真正体现“学为中心”的理念。
        一、问题缘起
        几何学习是初中数学学习的一大难点，但也是学生热爱数学的一个关键点。然而现今的数学教育中，应试教育占据绝对主导，课堂上唯解题论、课外唯分数论的现象比比皆是，忽略了学生数学素养的培养，学生真正的能力得不到培养。有许多学生平时解题能力很强，但在综合性考试中成绩却不尽如人意，原因无非是成为了“解题机器”，不具备相应的数学能力，面对从未谋面的新题型就无从下手。基于这样的数学现状，笔者通过深入研究《用正方形纸折30°角》这节拓展课，试图从身边的几何入手，教学生一种数学思维、一种解决问题的方法。
        二、教学实践
        这节课是在八年级学习完教材“全等三角形的判定”、“等腰三角形”等知识后，拓展研究的一个课题。教材内容如下：
        1.生活中的折纸引入课题。
        2.引例：用正方形纸片折30°角的三种方案，其中第一种方案是直接三折，操作时只能通过尝试折叠；第二种方案是先对折，再把一条边折到折痕上；第三种方案是对折后，把另一条边折到折痕中，实质跟方案二无异。然后分别证明其正确性，篇幅较大。
        3.两个关于折叠问题的证明和计算题，与引例没有直接联系。
        4.课后练习题，都是关于折叠问题的计算和证明题。
        5.课外拓展：用纸片剪出正五边形、用纸条折出正五边形。
        学生已经掌握了全等三角形的性质和判定，掌握了轴对称图形的性质，已经具备了一定的几何分析与说理能力。因此这节课的目标应为理解折纸与全等的关系，运用全等三角形的性质解决有关折纸问题；理解折纸的原理，学会用正方形折出特殊角。
        （一）预设课堂，抓手模糊操作难
        纵观教材，整节课的内容非常丰富，如果放在一个课时内完成，那必然会造成囫囵吞枣的结果，失去了拓展课的意义。如果要选择其中一部分来呈现，那么哪部分内容为主体，立意是什么，就是需要首先解决的问题。预设中，本课的主体是折叠问题的解题思路，立意是从正方形纸片折30°角的过程中，领悟折叠问题的方法：还原法。
        从生活中美丽的折纸开始，引入主题，然后让学生研究如何折30°角。由于第一种方案无法做到精确折叠，因此删去。第二种方案中，小组合作探讨折法，教师从旁点拨，从而领悟还原法解决折叠问题的思路，再由学生探究第三种方案或其他方案，熟悉还原法。接着就是改变例题，使其更有代表性，可以采用还原法解决。
        预设的教学方案具有一定的思考深度，形式内容丰富，主线清晰，但是最大的问题就是思想高度不够，流于解题技巧的研究，功利性太强，缺少对数学思想和精神的追求。拓展课，就是要让学生在玩中学、学中玩，如果依然是解题、讲题，那就失去了意义。另外，还原法虽然是解决折叠问题的重要方法，但要学生在折叠中领悟，就需要有极强的指向性，相当于框死了学生的思维空间，那么也就演化为了“假探究”。而且学生说理的过程中，很难体现出还原的思想，操作性不够强。
        事实上，数学中的折纸虽然来源于生活，但与生活中的折纸有着本质的不同。数学中的折纸的本质是轴对称，这应该是本课贯穿始终的一条线。
        （二）初步实践，情境不实心底虚
        第一次试课，学生的反应还是不错的，但与前文提到的一样，整节课思想深度不够，还原法的领悟和讲解过程操作性不强，学生很难从中真正领悟方法，只能由老师指明方向并讲解。试课后，形成了两条不同的新思路：
        思路一、在生活中的折纸中感受美，在数学折纸中感受数学美，立意为领悟数学之美。这个思路最大的漏洞，就是违背了拓展课程的出发点：让学生在数学实验中学到一种思想，或者学到一种方法。
        思路二、主体放在用正方形纸片折30°角这个过程中。

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通过简单折叠如折平角、折直角、45°角、折角平分线、中垂线等引入，让学生探究30°角的折法，培养学生小组合作、自主探究能力，再通过例题达到应用的目的。最大的不同之处，是在于方案一不止回归，更是成为重头戏，从不能精确操作的方法中，领悟出方案二，更多地体现了数学的味道。
        针对思路二，新的设计如下：
        1.双引入，既有高大上，又有接地气。首先是从数学史中的难题“尺规作图三等分任意角”入手，吸引学生探究折纸法三等分直角的兴趣，再从现实中小明考试时忘带三角板，需要用不规则的纸折一副来使用。
        2.简单折叠入手，使整节课起点低，学生能融入课堂，成为课堂的主人。
        3.探究用正方形纸折30°的方法，学生必然会先想到方案一，通过设问和引导，让学生理解这种方案的无法操作性，从而引发深层次思考：为什么这么折不精确？应该怎么折？
        4.由学生自主探究方案二和方案三，甚至方案四五六，放开学生思维，培养学生的创造性。
        5.例题体现折叠问题的应用：例1改为再探“30度角所对直角边等于斜边的一半”的证明，利用轴对称思想得到证明；例2改为将军饮马模型中的双动点型，利用轴对称思想进行作图和计算。
        这个思路充分体现了学生的主体地位，起点低、思想深，适当的梯度和引导都为学生的探究提供了阶梯。然而，上课的过程就是一个心虚的过程，因为有一个最重要的问题尚未解决：我们为什么要上这节拓展课？这节课想让学生获得什么？也就是说，这节课的立意，不应该是为了解决后面的习题而进行探究，这样就又陷入了功利化。
        数学课堂，应该是全面关注学生的理性精神、数学能力，而不是为了“关注分数”而解题。提高课堂教学的立意，就是落实“教育中的科学发展观”，全面关注学生的发展。
        （三）再次实践，明暗双线巧引导
        被动学习、缺少归纳和抽象，对培养学生的学习习惯、数学能力、数学素养以及创新精神等是极为不利的。李邦河院士说过：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！”这节课的设计还需要解决几个问题：
        1.立足教材定抓手
        拓展课程是从书本上的一个点引出，来自课本又高于课本。学生在七年级已经接触过折纸问题，纸片对折的过程实际上是一个轴对称变换的过程，而轴对称的两个图形是全等图形，可知对应边相等、对应角相等。
        2.巧设情境引思路
        几何的探索，往往需要理解这个问题的核心也就是直接对象的性质是什么，还需要掌握问题所处的背景也就是间接对象的性质是什么。笔者从以下思维行径图出发进行环节设计。
        3.步步为营深拓展
        拓展课程，最终的目的还是拓展。实际上，这节课有两条线，明线是数学实验探究，暗线是类比思想的应用。上面得出方案二并且领悟几何研究的方法后，让学生通过类比思想得到方案三，或其他方案，再由角度类比到线段的长度，整个思路非常清晰。
        三、课后思考
        一节课，有了高屋建瓴的立意，有了清晰明朗的主线，有了要研究的思想和方法，就能够让学生在探究中有所收获，在思考中有所领悟。
        1.老师心中没有“成竹”，学生手中没有书本，这样的拓展课怎么上？最重要的是老师要明白自己为什么要上这节拓展课，也就是把握这节课的立意。立意要高，来源于课本而高于课本，但又要接地气，要解决一个学生会遇到的实际问题。
        2.拓展课的主线如何确定？明暗双线是一种较为理想的思路，明线就是整节课串联在一起的知识和方法，暗线就是数学思想的应用。锻炼能力、培养思想，才是数学课的真谛。
        3.拓展课如何进行“再拓展”？解决一个问题，掌握一种思想和方法后，对知识还需要进行巩固。但如果直接通过习题巩固的话，又会失去那种拓展的味道，正如这节课的设计中，拓展题也是开放式的，是在探究完角度的折法后，可以很快得到的线段的折法，而且课堂上以折为主，思考原因为辅，真正做到让学生“在玩中学”。
        《舌尖上的中国》有一句经典的话：高端的食材往往只需要采用最朴素的烹饪方式，才能得到食物本身的天然美味。数学拓展课，就是要从课本中的一点出发，抓住学生急需解决的问题，抓住学生学习的基础和能力的层次，用最朴素的教学方式，激发学生学习的内驱力，从而让数学课更有“数学味”。