李芳
凉山州民族中学
摘要：二次函数动点问题是初中阶段学生较为常见的难点，在填空题、选择题或是解答题中出现频次较高。随着教学方法的不断丰富，各类二次函数和等腰三角形结合题目解题方法也变得多元化，本文在研究过程中通过分类讨论思想结合实际例题的方式对解题过程进行分析，使学生的数学思维和解题能力得到提升。
关键词：分类讨论；二次函数；等腰三角形；策略
一、例题分析
（一）实例展示
如图1所示，有一条经过A、B、C三点的抛物线y=ax2-5ax+4，由A、B、C三点形成的△ABC中，BC⊥y轴，垂足为C，点A在x轴上，且BC=AC。
（1）求抛物线的对称轴。
（2）分别写出△ABC三个顶点的坐标并求抛物线的解析式。
（3）探究∶若点P是抛物线的对称轴上在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由。
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图1
（二）问题分析
该题目是较为典型的二次函数和等腰三角形结合的问题，即涵盖了二次函数的相关知识点，同时也纳入了等腰三角形的定义、判定等内容，复杂程度相对较高，对于学生的逻辑思维能力、计算能力以及数学思想应用都有着一定的要求。因此，学生要想快速准确的解答该题目，那么就需要借助分类讨论思想对问题展开分析。
在解决第（1）题时，令抛物线y=ax2-5ax+4中的x=0，就顺利得到了点C的坐标。由BC⊥y轴，垂足为C，就得到了对称轴。在解决第（2）题时，由抛物线的对称轴可以得到点B的坐标，然后由点A在x轴上，且BC=AC，得到点A 的坐标。最后将点A的坐标代入抛物线y=ax2-5ax+4中就算出了a的值，最终得到了该抛物线的解析式。在解决第（3）题时，应该利用分类讨论思想将问题分三类情形考虑，本文将重点对第（3）题的解法进行叙述。
首先，第（3）题的情况应该分为两种，一种是AB为腰，一种是AB为底。在第一种情况中，又细分为两种一种是AB为腰，LA为顶角，另一种是乙B为顶角。此时，分别能找到一个对应的△PAB。在第二种情况中，AB为底，那么顶角就是乙P，此时能够找到一个对应的△PAB。最后，每种情况相对独立求解，即在分析第一种情况时，将问题限于第一种情况，完全不考虑第二种情况，就像该问题只有第一种情况一样，以此类推。
二、利用分类讨论思想解题
在将解决问题的思路捋清之后，就要运用分类讨论思想解决问题。为此，本文重点对第（3）题的解法进行详细叙述。具体如下∶
（3）存在这样的点P，且这样的点P一共有3个，如图2所示。
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图2
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三、分类讨论思想解题方法总结
根据上述解题流程可以看出，通过分类讨论思想解答二次函数与等腰三角形结合的问题时应当加强对以下几点的注意：
第一，学生需要熟练的掌握二次函数和等腰三角形的理论知识要点，例如解析式算法、对称轴算法以及等腰三角形的性质等内容。解题过程中如果某一环节存在错误，那么将会导致最终难以获得正确答案，因此，教师需要重视学生对二次函数和等腰三角形基础知识的掌握，避免在解答压轴题目时出现错误。
第二，在解题时学生不仅要掌握二次函数和等腰三角形的相关知识，还要加强对辅助知识的运用，例如勾股定理、垂直平分线作图等方法，这些知识点虽然看起来重要性不强，但确实高效准确解题的重要内容。假如学生不能熟练掌握和运用这些知识点，解题过程也会存在较大难度。基于这种情况下，实际教学活动中教师不仅要为学生讲解分类讨论思想解题步骤，也要将题目中涵盖的细微知识点进行抽离分析引导学生消化。例如教师可以提出问题，题目中涵盖了哪些其他知识点，学生回答过后教师进行总结整理，这种情况下既提升了学生对知识点的掌握程度，也能够使学生明确解题步骤，以分类细化的方式降低题目难度，学生的学习自信心也会得到提升。
第三，通过分类讨论思想解决二次函数与等腰三角形结合的解答题时，学生可能会由于逻辑思维能力不足会受到其他因素的干扰，这种情况下教师需要教会学生在分析第一种情况时对第（3）题目进行限定，将之看做单独的题目，不要多余的去思考其他情况，按步有序的进行推理解答，这样学生的解体习惯也会变得更加科学。改题目的重点在于解答出如何得到3个不同的点P，或是说点P存在三种不同情况的原因，一般情况下学生只能解答出1-2种答案，容易存在遗漏的问题。面对这种情况，教师需要对解题方法和解题思想进行提炼整理，例如在解答本题目时教师在讲解完解题流程后，可以通过下方的图示为学生进行技巧总结：
分类讨论思想的应用需要教师加强对学生的数学基础奠定，引导学生利用既有知识经验按照类别和步骤进行题目解析，分类讨论过程中降低其他情况对学生思维的干扰，使学生学会对独立问题进行思考。此外，在学生对题目分析完成后，需要对分析过程进行总结，通过正确有效的总结加强对题目的理解，实现逻辑思维与解题能力的提升。
结语：中学阶段的二次函数教学内容不仅能够与等腰三角形结合，还能够拓展到其他的知识点，但依照近几年中考数学题目来看，二次函数与等腰三角形结合的题型较为常见，为更好的提升学生的解体能力和逻辑思维能力，教师在实际教学活动中可以培养学生的分类思想解题能力，强化与其他知识的联系，更好的锻炼学生数学思维，构建完整的数学知识网络，使其能够用于实际题目解答当中。
参考文献：
[1]何风强. 基于模式识别下等腰三角形的分类讨论[J]. 家长, 2019, 000(023):P.152-153.
[2]徐莉. 初中数学解题中分类讨论思想的运用探微[J]. 科普童话, 2018, 000(035):P.123-123.
[3]孙承娟. 二次函数图像中存在相似三角形的问题解析[J]. 数学大世界(下旬), 2018(2).