施文光
云南师大实验中学
1.问题的提出
2011年12月，教育部颁布了《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“2011年版课标”）.课标指出：义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性.数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展.义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础.在近10年的数学课程改革与教学实践基础上，值此2011年版课标修订10年之际，选取最近10年的云南省中考数学试卷，作简要分析与思考，与同仁商榷，供大家讨论.
2.近十年中考数学试卷分析
从2011年版课标颁布以来，我们走过了漫长的十年.特别说明一点，2011年版课标是2011年12月颁布的，所以2011年6月的中考还是在以前的课标指导下进行的.准确的说，2011版课标颁布之后共经历了10次中考，下面就以表格的形式进行逐一剖析.
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表1: 10年中考数学题型与分值变化情况
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“2011年版课标”）[1]，在第一部分前言的课程设计思路中明确了课程内容.具体如下：在各学段中，安排了四个部分的课程内容：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”.其中，“综合与实践”内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力.
“数与代数”的主要内容有：数的认识，数的表示，数的大小，数的运算，数量的估计；字母表示数，代数式及其运算；方程、方程组、不等式、函数等.
“图形与几何”的主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动.
“统计与概率”的主要内容有：收集、整理和描述数据，包括简单抽样、整理调查数据、绘制统计图表等；处理数据，包括计算平均数、中位数、众数、方差等；从数据中提取信息并进行简单的推断；简单随机事件及其发生的概率.
“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动.在学习活动中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题.“综合与实践”的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以课内外相结合.提倡把这种教学形式体现在日常教学活动中.近10年中考数学试卷在这四个部分的考查情况参看表2和表3：
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从表1和表2可以看出以下几个方面的内容：
第一，题型和题量相对稳定，稳中有变，稳中创新. 中考数学试卷是完全根据 《义务教育数学课程标准（2011年版）》和《云南省初中学业水平标准与考试说明》的精神命制的，因此题型题量稍有变化，客观性试题和主观性试题的比例合理，题量适度，难度适中；容易题、中等题、难题三个档次的题目分布层次性好，且中档题与难题的给分区域，采分点较为合理，体现了较好的考查性，区分度好.
第二，注重“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）的考查，体现数学学科的特点，关注学生发展.着眼于考查学生的数学素养与能力，考查学生对数学思想和方法的领悟程度，避免繁琐的计算与证明以及单纯记忆的死记硬背的题目.
第三，严格体现课程标准中提出的理念：在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想.为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识.
第四，数与代数部分占比稳定在40%左右，图形与几何部分占比稳定在35%左右，概率与统计部分占比稳定在15%左右，综合与实践部分占比稳定在10%左右，其中，有四年（2012年、2013年、2015年、2020年）的综合与实践部分（即压轴题）是以二次函数与图形综合来考查的，有四年（2014年、2017年、2018年、2019年）的压轴题仅是以图形与几何为背景，2016年的压轴题涉及找规律与恒等式、不等式的证明综合.2021年的压轴题较为新颖，有区分度.并非往年的二次函数与几何综合，摒弃了以往有图有文字描述的固定形式，充分体现新、奇、巧的特点.首先，这是一道二次函数的综合题，涉及到数形结合的思想以往都以图象直观的形式呈现，今年函数图象的增减性用文字描述，需要学生具备一定的图形想象能力.然后奇，第(2)(3)小问涉及到到高次幂，不是我们熟知的二次方三次方而是四次方九次方，很多学生看到都会觉得奇怪，产生畏难心里.最后是巧，认真审题思考容易考虑韦达定理，但是后面两小问以往的韦达定理会显得过于繁复，使用降幂和整体代入的思想反而能更快的得出答案.所以这题解题方法灵活，衔接高中数学中的“换元思想”、“降幂思想”、“分离常数法”等，更加突出初中数学是高中数学的基础，具有很好的过渡性和延伸性.
第五，找规律问题每年都考查，有数列规律、图形规律等，2012-2015找规律常出现在填空压轴，2016-2021年，找规律降低了难度，大多数都以选择题和填空题为主，有两次出现在解答题，其中涉及了恒等式的证明（2016年第23题、2017年第16题）与不等式证明的探索（2016年第23题）.
第六，重视分类讨论思想的考查，，2016-2021连续五年数学中考选择题和填空题倾向于考查分类讨论的思想，填空最后一题都是无图多解，但以往我们的分类讨论思想已经固定认为只需要分两种情况讨论就可以了.近来两年来，分类讨论思想已经不仅仅局限于2种，2021年第14题多解题打破以往常规的双解，设置了四个解，很多好生惯性思维只写两个解导致失分.这类题型通常以几何图形中的三角形、四边形为命题素材，形式灵活，难度大，学生需要亲自作图分类讨论才能解决.
3.思考
2011年版课标提出：义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性.数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展.义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础.数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展.中考备考复习，这里提出几条建议与大家商榷讨论.
（1）抓基础
初中数学基础包括基础知识和基本技能两方面.现在中考命题仍然以基础知识题为主，有些基础题是课本上的原题或改造，后面的大题虽是“高于教材”，但原型一般还是教材中的例题式习题，是教材中题目的引申、变形或组合，复习时应以课本为主，重视课本，系统复习.目前的中考具有选拔性与水平测试两项功能，既要为高中阶段招生选拔服务，又要达到义务教育的课程目标，因此，这些年易中难比例一直保持在7:2：1，试卷中有10%的问题有难度.中考有近70%分基础题，若把中档题和较难题中的基础分计入，占的比值会更大.所以在应用基础知识时应做到熟练、迅速、正确.所以，有90%以上的题目都是我们应该拿到手的.目前，许多同学的复习陷入题海，把时间耗费在重复性训练和偏、难题的解决上，使复习的针对性差并且造成不必要的心理负担.考生应从题海中解脱出来，做题要关注思路、方法、技巧.做题时，要注重发现题与题之间的内在联系.在做一道似曾相识的题目时，要通过比较，发现规律，做到触类旁通.
（2）抓错题
数学考试成绩往往会因为某些薄弱环节大受影响.消除某个薄弱环节比做一百道题更重要..
首先，将已复习过的内容进行“会诊”，找到最薄弱部分.在备考期间，要想降低错误率，除了进行及时订正、全面扎实复习之外，非常关键的问题就是找出原因，而错误原因大致有：知识性错误（概念、公式、定理等理解上的问题）、习惯性错误(漏写回答或单位、书写不规范、逻辑不严谨)以及书写潦草凌乱给自己带来的错觉问题等等.
其次，集中力量，攻克薄弱点.每个人都有自己的“软肋”，如果试题中涉及到你的薄弱环节，一定会成为你的“最痛”.因此，建议大家在平时的做题中要及时记录错题，编制错题集，尤其是月考、模拟试卷要进行认真的分析，查找原因，改正错误.可以将试卷进行重新剪贴、分类对比，从中发现自己复习中存在的共性问题.对其中那些反复出错的问题可以考虑再做一遍，以绝后患.
那么，如何整理呢？先把错题写下来或者裁剪粘贴到错题本上并写下正确的解析以及自己错因分析.写正确解析的过程不是说自己抄答案的过程，而是一边写一边感受解题的逻辑，加深印象形成能力.错因分析尤其要重视，一定要明确自己的错误是知识方面的漏洞、还是思维方法的错误、还是计算的错误等等，随着错题量的增加，你是可以找到自己的薄弱处的，可以针对自己差的地方专门去练习训练.错题整理不仅有正确的解题方法还有自己对于题目的重新审视和理解，在错题旁写下自己的反思总结，加上对于相关知识点的总结，特别是一题多解的更应该写下所有解题方法，对比反思找出最佳.最重要的一点，不要让错题过夜，及时整理，反思总结.
最后，如何使用错题本呢？错题本是高效的个性化复习材料，正确运用好错题本才能体现它的价值.错题本的价值是在不断回顾当中达到最大化的，同学们在平时的学习中要预留出一定的时间给自己专门去回顾错题和笔记，这是反复咀嚼的过程，每一次回顾都会有新的体会.在回顾的过程中，有些错题感觉自己已经足够熟悉了，同一类的错误不会再犯，也要大胆的主动将错题本"变薄"，不断温故知新，不断推陈出新，持之以恒，成绩一定会有大幅度的提升.平时针对习题所做的心得总结也是每次回顾复习的重点，不断揣摩，不断思考，细细品味自己得出的套路方法，形成相应习题的解题方法论.
（3）抓应试
在中考考数学时，有的同学能超常发挥，有的却令人惋惜，其原因不是“运气”，而是准备不足，这正是考前调整的重点.
第一，合理定位，有舍有得.
一般来说，选择题和填空题的后几题都是精心构思的新题目，有一点难度，必须认真对待;有的选择题的不少命题似是而非，难以捉摸;可是，不少学生却一带而过，直奔综合题，造成许多不应有的失误.其实，综合题的最后一个小题总是比较难，目的是提高考试的区分度，但是只有4分左右.如果暂且撇开，谨慎对待116分的题目，许多学生都能考出不俗的成绩.如何考出最佳成绩，记住下面三句话：基础题一分不丢，中等题分分必争，难度题分步得分.
第二，认真审题，谨防失误.
数学试题的措词十分精确，读题时，一定要看清楚.例如：“直线与圆不相交”，就包括相交和相切两种情况.如果试题与熟悉的例题相像，绝不可掉以轻心.例如“抛物线顶点在坐标轴上”就不同于“顶点在X轴上”.再比如，比方说今年2021年的填空题第14题，已知△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，惯性思维地会认为同一个正方形应当只能用大写字母顺序表述为ABCD，也在纠结正方形ACBD是否依然符合题意？这一点确实让许多学生掉入了陷阱.换个角度来看，现在的数学中考可能也更加趋向于考查学生的审题能力，也就是对题目的理解能力，所以学生认真审题，看清题意非常关键.
第三，规范草稿，稳中求快.
不少计算题的失误，都是因为打草稿时太潦草，匆忙口算后抄到试卷上时又看错了，这样的毛病难以在考试时发现.正确的做法是：在草稿上列出详细的步骤，不要跳步.事实证明：踏实地完成每步运算，解题速度就快且准确率高，把每个会做的题目做对，考分就会高.
第四，不慌不躁，冷静应对.
在考试时难免有些题目一时想不出，千万不要钻牛角尖，因为所有试题包含的知识、能力要求都在考纲范围内，不妨先换一个题目做做，等一会儿往往就会豁然开朗了.综合题的题目内容长，容易使人心烦，我们不要想一口气吃掉整个题目，先做一个小题，后面的思路就好找了.
在满分120分的试卷中，基本要求就是每一分钟得到一分.而基础部分显然答题速度要快很多，应70分钟左右答完，并心理有数.通常有难度的题目一般是选择和填空最后一题以及综合题最后一问，这部分难题的解题时间在40分钟左右.最后10分钟再总体审查试卷，在有所犹豫的题的上再仔细考虑一下.
第五，认真书写，杜绝失误.
考试中许多同学都曾出现过会做但未得到满分的情况，原因大都是习惯性错误(漏写回答或单位、书写不规范、逻辑不严谨).我们都会听到这样一句话：注意格式！实际上数学解题的书写根本不存在格式之说，如果硬要提“格式”一词，我认为包含三方面的内容：逻辑的严谨、书写的工整和排版的美观，其中，逻辑的严谨排在首位.复习应试时需参照近三年的中考试题的评分标准，纠正答题过程中的不良习惯，对试题的错误和扣分点要认真分析，找出原因和解决的方法.另外在第三阶段要加强模拟训练(包括各区模拟试题、学校模拟试题及其他模拟练习资料等)，强化对知识的掌握和答题速度、节奏、经验等方面的积累训练，保证不在书写上丢分.
总之，近三年年的中考数学延续了往年试题的风格，稳中求变、稳中创新，既注重考查学生的基础知识、基本技能的掌握情况，也关注学生数学思考、学科核心素养的发展水平．试题还关注学生积累的数学活动经验，以及运用数学知识解决问题的能力．试题难易得当、层次分明，重点知识重点考查，既符合学业考试的要求，也能满足高一级学校选拔优秀学生的需要，让不同程度的学生都有发挥的余地.