杨加智 徐财昌
云南省保山曙光学校（678000）
摘要：极值点偏移问题是高考的热门问题，也是难点问题.函数的极值点是导数的零点，所以也可以算作零点问题。对于极值点偏移问题在以往的证明过程中一般采用整体代换的思想，构造函数，讨论单调性来证明，证明过程相当繁杂.本文重点介绍对数不等式在零点证明问题中的应用，其思想简单，便于理解.
关键词：导数；零点；极值点；对数不等式
1. 引言
导数作为高考必考内容，总分值为12分或17分，在高考中占比较大.导数一般以一大一小形式出现，其难度较大，大题一般作为压轴题，学生在考试时往往无法解决.本文主要围绕导数的应用中零点证明问题展开自己的看法，对于对数不等式在零点证明问题中的应用进行了阐述，并给予例题进行说明，然后进行一些分析总结.
2.对数不等式
下面我们引入对数不等式：
对于
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3.对数不等式在零点问题证明中的应用
例1 已知函数有两个不同的零点.证明：.
（2019云南曲靖一中1月月考,21）
传统构造函数解法：
证明 由题意知
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两式相减得，即.要证，即证，即证.不妨设令，则，只需证即可.设，则
应用对数不等式证明：
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可以看出通过构造函数来证明这类问题不仅思想难度高，要构造出适当的函数，而且烦杂，学生往往无法处理.但用对数不等式思想难度低，只需找到形式的式子，然后用对数不等式来证明.可以比较出对数不等式在证明零点问题时是行之有效的.
下面我们给出对于一般形式的式子的应用：
对形如的函数在零点问题中的应用.若为的两个不同零点.
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例2 已知函数有两个不同的零点.且为的中间，证明：.
我们直接应用对数不等式证明：
证明
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因为，
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本题应用对数不等式找到一个关于的不等式，将思想难度降低，通过化简运算得到证明.由对数不等式我们还可以证明得.
例3 已知函数，的导函数.若存在，且时，，证明.
（2019.9月武汉新起点理科数学，22）
证明 由已知得：假设，则
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所以所，由对数不等式得：，即得证.
例4 已知函数有两个零点，证明：.
证明 由已知得：，对两式分别取对数得：
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两式相减得：，应用对数不等式得：
，所以得证.
对于形如的函数在零点问题中的应用.
若的两个零点分别为.（这里可以）
则，对两式分别取对数得：
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两式相减得：，应用对数不等式得：，
所以可以得到.
由上可以得到对于的式子我们可以尝试用对数不等式来证明.这类问题是复杂的，但采用对数不等式是行之有效的.
5.对数不等式在极值点问题证明中的应用
我们知道若为的两个极值点，则有，那么问题可以等价为零点问题，同样可以应用对数不等式来证明.
例5 已知函数.
（1）讨论的单调性.
（2）若存在两个极值点，证明：
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（2018.全国Ⅰ卷理）
解 （1）可以得到：当时，在上单调递减，在上单调递增.当时，在上单调递减.
（2）由是的两个极值点，设.所以
，
化简得：.由（1）知,且是的两实数根.所以.由对数不等式得：
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得证.
对于极值点问题，我们往往通过求导令，可以得到一个一元二次方程，我们可以通过韦达定理找到来证明.
6.小结
在高考导数大题经常会设计到零点的证明问题，即或者别的形式的式子，它实质上属于极值点偏移问题，通过应用对数不等式来解决这类问题不仅思想简单，而且简便快捷.总之，应用对数不等式证明零点、极值点问题是行之有效的.