杨付贵
广州工商学院基础教学部 （广东 佛山 三水 528138）
摘要：类比思维实质上就是类比推理的逻辑思维，也就是根据某类知识所具有的某些属性，推测与其相类似的知识也具有这些属性的推理思维。由于概率统计是高等学校理工类和经管类专业的一 门重要的数学基础课程，相比于高等数学和线性代数而言，具有一定的难度．为此，在“概率论与数理统计”的教学过程中，适当地运用类比思维的方法，将所学习过的知识理论和现在正要学习的新的知识理论进行类比，更容易使同学们接受所学的新知识，进而巩固旧知识理论，将更有助于学生加深对一些基本概念的理解和掌握。不仅达到较好的学习效果，并且，无形中也培养了学生的类比思维运用。本文是根据自己多年来的教学实践探索,阐述在概率统计的教学过程中,四种常见的类比思维方法的具体应用。
关键词: 类比思维；概率统计；数字特征
概率统计是高等学校理工类和经管类专业的一门重要的数学基础课，且有非常广泛的应用．由于概率统计研究的是随机现象的统计规律性的数学学科，相比于研究必然现象及其规律性的高等数学和线性代数，显然，有限难度。另外，概率统计的研究方法和高等数学和线性代数也不尽相同。这就使得许多初学者感觉不习惯。又概率统计分别是通过演绎和归纳两种相反的逻辑思维方法进行研究的．以往学习高等数学和线性代数的经验使得学生通常对演绎法比较熟悉．而对归纳法则相对陌生。此外，高等数学忽然线性代数是概率统计的两门先学课程．在概率统计中要经常用到许多的微积分作为理论和计算得工具，而又相当一部分学生的微积分基础学的又不是太扎实，这也直接影响了概率统计的学习。为了降低学生对学习概率统计的难度．作为任教概率统计这门课的教师，就需要适当地在概率统计的教学中使用类比思维的方法．通过先回顾学生所学过的理论知识，再引带出概率统计中的新概念、新知识与性质．再通过类比较新旧知识的共同点与相异点，使学生对所学的新概念、新理论、新方法加深印象。这样不仅增强了学生对新知识的理解和掌握，而且也从心理上减弱了学生对概率统计这门课程的一些恐惧感，有助于学生形成良好的思维习惯和创新意识, 同时也激发学生学习概率统计的兴趣。
1.随机事件与集合的类比
概率论中的随机事件是一个基本概念，我们可以分别将随机事件与集合论中的集合做类比；将随机事件的关系与与集合的关系做类比；将随机事件之间的运算运算与集合之间的运算做类比，有如下结论：
概率论中的样本空间、样本点、随机事件、基本事件、必然事件和不可能事件 分别相当于集合论中的全集、元素、子集、一个元素、全集和空集；
概率论中随机事件的关系有四种，分别是(1).随机事件的包含关系:即如果(或者),则称事件被事件所包含，或者说包含，与集合的包含关系做类比，可知，随机事件的包含关系实质上就是集合中集合之间的包含关系；类似的，(2).两个随机事件相等是指他们相互被包含，与集合中两个集合相等完全类似；单步完全相同，因为两个集合相等是指它们含有完全相同的元素，而两个事件相等则并不意味着它们一定是同一个事件。这种不同点，务必提醒同学们要加以区分，以免混淆；(3).两个随机事件互斥是指它们不能同时发生，与集合类比，两个随机事件互斥就是两个集合的交集是空集；(4).两个随机事件对立是指它们不能同时发生且至少有一个发生，与集合类比，两个随机事件对列就是两个集合的互补（或者说互余）。
概率论中随机事件之间的运算也有四种，分别是(1).随机事件与随机事件的和(并)
表示随机事件与至少有一个发生，记作(或),显然，两个随机事件的和的运算就是两个集合的并集的运算；类似的,(2).两个随机事件与的差，表示随机事件发生，而随机事件不发生的事件，记作，即:两个随机事件的差的运算实质上就是两个集合的差集的运算；(3).两个随机事件与的交，表示随机事件与同时发生的事件，记作，即：两个随机事件的交的运算就是两个集合的交集的运算；(4)随机事件的对立事件(也称随机事件的补事件或随机事件的逆事件)，表示随机事件不发生的事件，记作，即随机事件的对立事件的运算即为集合的补集(或的余集)的运算.
随机事件之间运算的性质和集合之间运算的性质也可以进行类比，比如：交换律，结合律，分配律，对偶律等，可类比学习。这里，对偶律对应着集合运算的德.摩根律，名称不同但形式相近,此外,无论是随机事件之间的关系和运算，还是集合之间的关系和运算，都可以借助文氏图(也称维恩图)来加以理解。
切记，不要把随机事件之间的运算与实数运算做类比，比如有些学生可能会滥用类比法 ，把随机事件运算与实数运算作比较，往往会出现 等错误。因此，教师需要强调这两类运算的区别。它们是不可以类比的。
2.离散型随机变量与连续型随机变量的类比
离散型随机变量的统计规律性是可用分布列来描述，而连续型随机变量的统计规律性是可用概率密度来描述。将它们进行类比：(1). ，而；(2). ,而；(3).判定某数列是否为某离散型随机变量的分布列，就是看每个数是否都为非负数，且他们的和是否等于1即可，而判断某函数是否为某随机变量的概率密度，就是考察是否大于等于零，及是否成立即可;(4).离散型随机变量的分布列的用途及待定常数和判别数列是否为分布列及确定某区间内的概率与连续性随机变量的分布列的用途完全类似；(5). 离散型分布函数与连续性分布函数以及它们的数字特征都可进行类比。
3.随机变量的方差与有关向量的类比
将随机变量的方差和向量长度的平方做类比；由于随机变量的标准差（均方差）为随机变量方差的算术平方根．所以，随机变量的标准差可以和向量的长度作类比。这样，可以将随机变量的方差以及标准差的概念和有关性质与向量长度的概念及相应性质作类比。比如:
(1)方差的充要条件是为常数.而对于向量，且的充要条件是.因此,常数在方差中的地位和零向量在向量中的地位是相同的;(2).。切记此性质和数学期望的相应性质的区别,不要混淆.为避免此类错误,只要和向量的相应性质作类比即可.(3).当两两独立时,有
,相应的，如果两两垂直，则。
由于许多同学往往忽视独立性，所以，只要把随机变量的独立性与向量垂直作类比即可。
4.随机变量的协方差、相关系数与向量的数量积、向量夹角余弦的类比
随机变量的协方差定义为 ，特别
，而向量的数量积为，特别。又随机变量的相关系数的定义为，而两个向量夹角余弦为。我们将协方差、相关系数的的许多性质都可以与向量数量积、夹角长度的有关性质作类比。比如: (1) .,可以类比；(2).可类比于；(3).两个随机变量的相关系数的充要条件是互为线性关系，类比于的充要条件是线性相关。
5. 数理统计的基本概念与概率论的基本概念的类比
在数理统计中，有总体，个体，统计特征等基本概念，可分别与概率论中的样本空间，样本点，随机变量作类比，等等。
总之，学习概率论与数理统计，将相关内容进行类比，不仅能使一些较难理解的概念容易理解，较难掌握的理论知识变得比较容易掌握，而且可以使解题思路变得更加开阔。
参考文献
[1] 李燕楠.何建营.类比法在概率统计教学中的应用[J].科技视野，2014.（26）165-165
[2] 井世忠.殷峰丽.类比思维在高等数学中的应用[J].高等函授学报，2010