刘 冬 李雅婷 赵家浩 欧锦凤 贺超超
1.天津商业大学统计系 300134
摘要：随着信息化社会的发展，监控设施的存在让犯罪份子无处遁形，但由于一些不可控因素，经常导致监控照片模糊不清，图像还原技术即是处理这类问题的关键。本文建立了基于MCMC[1], [2]方法的图像还原模型，首先给定合理的先验分布，采用马尔科夫随机域上的MCMC抽样方法，得到来自后验分布的像素样本，后验像素样本能够有效的估计真实图像，从而实现图像还原的目的。
关键词：马尔科夫随机域；MCMC；图像还原
[项目编号]JDS958 [项目名称]伴你学数统——大数据和统计学结合的创新应用实践
[]1引言
本文建立了基于马尔科夫随机域上的MCMC抽样模型，可以对模糊图像进行还原。模型首先假定合理的先验分布，得到了吉布斯抽样需要的满条件概率，进而得到了来自后验分布的像素样本，通过对样本平均值的计算，实现了模糊图像的还原。在实证应用中，模型对模糊图像的还原效果很好。
2 图像推断方法综述
在本模型中，我们为参考空间的随机变量指定一个特定的概率分布。对于特定的图像来说，就是对每一个像素的取值指定一个概率分布。马尔科夫随机域可以应用于很多格子型的结构，如正规的长方形，六角形和不正规的网格结构。Besag关于空间统计和图像分析中的马尔科夫随机域发表了大量重要的经典文章[4] ,[5]。参考文献[5]也给出了马尔科夫随机域的全面介绍。近10年来，空间统计和图像推断方法的发展主要集中在算法的效率问题上，其中Swendsen-Wang算法[6]，以及完美抽样算法是其中的重要成果。
在图像还原的过程中，我们主要考虑马尔科夫随机域在正规矩形格子中的应用。例如：一张照片的基本单位是像素，把每个像素看做一个小格子，于是一张相片可以看做是由个格子拼成的矩形，第个像素（即格子）的值记为，，其中为像素的总数。我们关注二元随机域，即只能取0或1。当然，的取值可以推广到取两个以上的离散值或是连续的情况。
定义为第个像素的所有邻域，记为像素的邻域像素的值的集合。注意第个像素不在中。在长方形格子中，第个像素的一阶邻域为其垂直方向和水平方向的像素集合，二阶邻域还包含对角线方向上的像素。本模型考虑的是一阶邻域。
假定第个像素的值是随机变量的实现，则我们可以定义一个局部依赖的马尔科夫随机域：规定在给定其他像素的条件下的的分布仅依赖于相邻像素。因此，当时，即第个像素周围的像素值都确定的情况下，我们有
.png)
上式中的，对于特定的问题，可以对的值做敏感度分析，以确定它们的最佳数值。另外，对于先验密度和似然函数的选取，通常选择指数族分布[1]，因为指数族分布会使得先验分布和后验分布属于同一种分布(即共轭分布)，而且指数族分布在大样本数据中的应用也是相当广泛的，已经经受住了相当的考验，实际操作非常稳定[4]。
有了上面的假定，立即可以证明一元条件分布：服从的是贝努利分布，于是吉布斯抽样的第t+1次循环中，第个像素等于1的概率为
.png)
5 模型的不足与待研究问题
实证的例子处理的是153×409个像素的图片，模型在R语言环境下实现，算法运行比较慢（程序处理需要两分钟左右），其效率有待提高。Swendsen-Wang算法是目前已知的收敛最快的算法之一，我们会在后续文章中给出Swendsen-Wang算法与本文算法的比较研究。
参考文献
[1] Gentle, James E. Computational Statistics[M]. Springer, 2009.
[2] Ross.Simulation[M].Elsevier Pte Ltd, 2013.
[3] 茆诗松，程依明. 概率论与数理统计[M]. 高等教育出版社, 2011.
[4] J.Besag. On the statistical analysis of dirty picture. Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 48:259-302, 1986.
[5] J.Besag. Spatial interaction and the statistical analysis of lattice systems. Journal of the Royal Statistical Society, Series B,36:192-236,1974.