赵礼阳 陈邦平 聂书科
重庆市荣昌安富中学 402360
[摘 要]三角函数的图像变换是高考的高频考点，尤其是正余弦函数图像之间的变换,快速并熟练计算出答案是高中生必备能力之一.对于不同名不同号的三角函数之间的平移，常规方法是先处理为同名同号的函数，再进行伸缩变换和平移变换.这样既费时，学生也很难掌握.为提高解题效率，本文提出一种“两点”法，通过计算两个函数图像的最高点坐标，便能确定答案.该方法简化了解题步骤，有助于提高学生解题的准确率，并且易于学生掌握.
[关键词] 函数；图像；平移；坐标
[分类号] G634.6
一、理论分析
三角函数图像平移是高考的高频考点之一，其难度虽然不大，但是很多同学在此考点仍然会丢分.本文针对正余弦函数图像平移问题做了详细的探讨，从同名同号的正余弦函数图像之间的平移，到不同名或者不同号，本文都给出了一种简便的方法，快速准确的计算出答案，方便学生掌握，有利于提高学生解题效率。
首先，在同一坐标系中，画出三个三角函数图像：，，
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图1
从图1中三个函数图像不难看出，不管是哪个函数图像，都可以通过左右平移使得其图像完全重合，和函数是否同名并无太大关系.一般情况，对于不同名，不同号的函数，很多学生解题时都先统一函数名字和符号，然后再利用左加右减进行处理.这样既浪费时间，同时还容易出错.是不是所有的正余弦函数都可以通过左右平移得到呢？显然不是，接下来观察下面这两组函数图像.
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图2 图3
从图2观察可以得出，当函数振幅一样，但是周期不一样，两个函数不管左右平移做少个单位，都不能使其函数图像完全重合；从图3观察，当周期一样，但振幅不一样，两个函数图像左右平移依然不会完全重合.综上所述，其实不难得出这样的结论：对于正余弦函数，当振幅一样，也就是相同，同时周期也相同，即相同，那么两个函数一定可以通过左右平移得到.
二、方法总结
通过上面的理论分析，当正余弦函数的振幅和周期一样的时候，其函数图像可以通过左右平移便能完全重合.而函数图像的重合，两个函数图像上的点和点是一一对应的关系，为快速的找到平移的量，每次取正余弦函数的两个最高点，当这两个最高点重合的时候，函数则能完全重合.于是通过计算出两个最高点坐标，根据最高点横坐标之间的关系，进而找到函数左右平移的量.
于是，对于正余弦函数图像的平移，解题步骤可以是这样的：
第一步：观察两个函数振幅和周期是否一致，如果不一致，则先进性伸缩变换使得周期和振幅一致；
第二步：分别计算出两个函数在轴右侧最近的最高点坐标；
第三步：根据最高点横坐标的大小关系确定函数左右平移的量.
三、算例分析
例1.（2014.四川.3）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ）
A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度
C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度
解析：题目中两个函数的周期和振幅都一样，于是计算得到两个函数在轴右侧最近的最高点坐标依次是：，根据题目由点移动到点，即向左个单位，选A.
例2.（2017.1卷.9）已知曲线，，则下面结论正确的是（ ）
A.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
解析：从题目看出，函数振幅一样，但是周期不同，于是先左右伸缩变换，曲线的从变为，即横坐标压缩为原来的，得到，排除A、B.然后对于函数和，计算出轴右侧最近的最高点坐标分别为：，即点移动到点，故选D.
例3.（2013.2卷.16）函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则＝__________.
解析：向右平移个单位得到，并且该函数与函数重合，那么当函数取得大值时，即，，则函数也必定取得最大值,于是有，因为，故.
四、结束语
通过以上三个高考题，很好的验证了该方法的准确性和易操作性.虽然本文只列举了正余弦函数的图像特征，其实对于一般的函数之间的平移也具有很好的参考性，比如正切函数图像的平移问题，也可以参考该方法加以应用.
参考文献
[1] 李洪波.关于三角函数图像的选择填空题的简便解法[J].中学数学研究,2018（7）.
[2] 李小云.解“三角函数图像与性质”问题的两个“切入点”[J].学术研究,2011（12）.
[3] 赖道伟.浅谈“函数图像平移”的应用[J].中学教学参考,2015（12）.
基金项目：重庆市普通高中教育教学改革研究课题，课题编号：2019CQJWGZ3075.
作者简介：赵礼阳（1990-），男，重庆大足，研究生，中学一级，研究方向：高中数学教学.