摘要：函数极限的计算，是高等数学的重要组成部分，其理论的确立使微积分有了坚实的逻辑基础，使得微积分在当今科学的整个领域得以更广泛、更合理、更深刻的应用和发展，灵活掌握极限计算方法对学好高等数学起着极其关键的作用。极限是微积分学习过程中的的重点应用；函数极限始终贯穿整个高等数学的学习，尤其是进行求解函数的学习，函数极限求解是高等数学教学中的基本问题。有关函数极限计算的方法众多，该文通过具体例题对高等数学教学中求解函数极限的几种常用方法进行探析归纳，以便今后更好地进行学习和应用。
关键词：中高衔接；高等数学；函数极限；方法探究。
高等数学研究的主要对象是函数（一元函数微积分），而研究函数的主要方法和工具是极限，这正是高等数学区别于初等数学的显著标志，高等数学中几乎所有的概念都离不开极限。可见极限概念的重要性和极限理论的基础性；同时，熟练掌握函数极限的求法，也就变得尤其重要了。函数的极限分为两种：①当自变量趋于无穷大
.png)
时.②当自变量趋于有限值
.png)
时，它的求法也有很多种。针对初学者的学习需求，结合教学实践，现将常见求解函数极限的若于方法做一探析归纳，希望对大家有所帮助。
在中高衔接《高等数学》教材里，求函数极限主要列举了以下几种常用的方法：由定义求极限；利用函数的连续性求极限；利用分段点处左右极限讨论函数极限；利用极限的四则运算法则和简单技巧求极限；利用两个重要极限公式求极限；利用有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量的性质求极限；利用无穷大量和无穷小量之间的关联性求极限；利用导数的定义求极限；利用洛必达法则求极限；利用等价无穷小代换求极限；利用泰勒展开式求极限；利用级数收敛的必要条件求极限等等。并通过具体例题，逐一分析和点评了各题解题方法及公式的使用技巧。
一、用函数极限的定义法求函数极限
极限的本质既是无限的过程，又有确定的结果。一方面可以从函数变化过程的趋势抽象得出结论，另一方面又可以从数学本身的逻辑体系验证其结果。然而并不是每一道求极限的题，我们都能通过直观观察总结出极限值。因此，用定义法求极限就有一定的局限性，不适合比较复杂的函数极限。
.png)
点评：这种题目，千万要小心，不要一拿到题就计算极限，应该先考虑是否存在着极限。
二、利用函数的连续性求函数极限
.png)
点评：利用函数连续性进行极限计算，可将特定函数值直接代入极限符号后的式子内，获得结果。当然，前提是函数具有连续性。
（2）分析：此极限不可以直接使用初等函数的连续性，但是把函数约分后，仍然可以使用初等函数的连续性。
.png)
点评：不能将特定函数值直接代入极限符号后的式子内，需把分子进行分解因式，约分后才能代入式子。
三、利用分段点处左右极限讨论函数极限
.png)
四、利用极限的四则运算法则和简单技巧求函数极限
极限四则运算法则的条件是充分而非必要的。因此，利用极限四则（和、差、积、商）运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件。满足条件者，方能利用极限四则运算法则进行求解；不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求解。但是，对于不满足极限四则运算法则条件的函数，需将函数进行恒等变形。通常运用一些技巧：如通分；约分；拆项；分子分母同乘某一因子或因式；变量替换；分子、分母有理化等方法，去掉函数中的“零因式”，再根据“极限四则运算法则”求出函数的解。
例4.求下列函数极限：
.png)
点评：将分子或分母同时乘以同一个二次根式，化去分子中的根号，约去x，然后再代入0，求出函数的值。
（2）分析：分子、分母的极限均不存在，不能直接应用运算法则。将分子、分母同时除以x
5，得
.png)
点评：计算时需要注意，法则只有在参与运算的每个函数的极限都存在时才能使用。
五、利用两个重要极限公式及其变形公式求函数极限
.png)
点评：注意变形过程中的系数变化。
.png)
.png)
点评：应用了无穷小量的性质无穷小量→与有界变量之积是无穷小量。
.png)
点评：自变量在同一变化过程中，则非零无穷小量的倒数是无穷大量。
八、利用导数的定义求函数极限
.png)
九、利用洛必达法则求函数极限
.png)
.png)
点评：此题对函数式进行了3次求导。即：只要满足条件，洛必达法则可多次反复使用。
以上这些解题方法，是笔者在日常教学中总结和梳理的，在高等数学求函数极限教学中经常会碰到，希望对读者有所帮助。针对中职学校中高衔接班级的特点，结合高等数学的基本教学原则，以“实用为主，够用为度”，其它不常用的解函数极限的方法，在这里就不一一列举了。
总之，根据学情的不同，运用的教学方法也不同。对于中职学校中高衔接班级的学生来说，基础薄弱，在教学过程中尽量运用通俗易懂的语言，解释定义、性质、公式等，结合实际引用简单的例题。求解函数极限的方法还有很多，但上面介绍的几种常用方法基本够用。解同一道题目，可用不同方法或多种方法联合运用；有时在一个极限运算中，要用到其中的几种方法，各种方法并不是孤立的，需要灵活运用。不难发现，每种方法对计算函数极限类型有较强的针对性。为此，在通过上述基本方法学习的基础上，应让学生熟练掌握数形结合思想、对比法、练习法、自我学习等方法，学会分析所给函数极限的特征，做到灵活选择解题方法，让自己具有独立解决问题的能力。
参考文献：
[1]邹淑芳. 高等数学（一元函数微积分），江苏凤凰教育出版社. 2014.09（第一版）.
.png)
[2]徐荣贵.求极限的方法和技巧[J].四川工程职业技术学院学报，2006（1）.