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数学文化融入公式、定理、性质的教学策略

发表时间：2020/6/28 来源：《教学与研究》2020第6期作者：赵明范雪莲

[导读] 数学中公式、定理、性质等是在概念的基础上总结、提炼出来的，是概念内涵的一种表现形式，它是数学内部结构与外部关系的反映，是数学推理的依据。

四川省都江堰中学赵明范雪莲

【摘要】数学中公式、定理、性质等是在概念的基础上总结、提炼出来的，是概念内涵的一种表现形式，它是数学内部结构与外部关系的反映，是数学推理的依据。本文提出数学文化在公式、定理及性质中的融入策略：注重了解公式、定理、性质产生，注重公式、定理、性质推导，注重公式、定理、性质中蕴含的思想方法，注重挖掘公式、定理、性质的人文价值。
【关键词】数学文化融入公式定理性质
        数学中公式、定理、性质等是在概念的基础上总结、提炼出来的，是概念内涵的一种表现形式，它是数学内部结构与外部关系的反映，是数学推理的依据。每一个公式、定理及性质的产生和发展都蕴含着丰富的文化背景，从文化的视角探讨数学公式、定理、性质教学对提高教学质量，提升学生的数学素养大有益处。本文以圆锥曲线的几何性质为例，探讨数学文化在公式、定理及性质中的融入策略。
        一. 注重了解公式、定理及性质产生的来源，培养学生发现问题的视角
        数学公式、定理及性质，是数学家思想的结晶，是数学知识与数学思想的集中体现，它构成了数学的基本内容。每一个公式、定理及性质的产生和发展蕴含着数学家们灵感的来源，借助这些发展史，有助于培养学生发现问题的视角。
        例如：在讲授圆锥曲线离心率时，首先可以借助几何画板让同学们直观感知椭圆的扁平程度与a,c有关，变抽象为形象,以学生的自主发现代替教师的直接讲解，体现以学生为主的教学原则。其次是为什么用表示离心率呢？这就需先介绍离心率的发展史.离心率最早就是为描述太阳系中行星运行轨道的形状而引入的，又称偏心率，即指某一椭圆轨道与理想圆环的偏离程度。在太阳系中，行星是绕着以太阳为焦点的椭圆形轨道运行的，通俗的讲偏心率就是衡量行星偏离太阳的程度。而行星和太阳的距离是变化的，其中在近日点处离太阳最近，偏离距离为，远日点处离太阳最远，偏离距离为。显然不能直接用最近距离和最远距离表示偏心率，因为这两个值不仅和运行轨道的圆扁程度有关，还受轨道大小的影响.于是想到了用比值      ,这个比值和椭圆大小无关却能很好地刻画椭圆的圆扁程度。离心率的表示与椭圆的第一定义和第二定义非常合拍，更能体现离心率的实质。从离心率的发展史中可以进一步培养学生发现问题的视角。
        二. 注重公式、定理及性质推导的多样性，帮助学生提炼分析问题的方法
        公式、定理、性质的推导过程实质上也是对公式、定理、性质认识过程，公式、定理、性质的推导往往有多种方法，多维度、多视角推导的过程，是培养学生分析问题、解决问题和创新能力的有效途径。

             三、注重数学思想方法在知识形成过程中的作用，增强学生解决问题的能力
        建构主义认为，学生在已有的认知结构中，学习内容的逻辑结构的重要性，数学思想方法恰恰是数学逻辑结构的主要成分，所以注重在公式、定理、性质形成过程中，注重提炼数学思想方法，有助于提高学生解决问题的能力[1]。
        1、数形结合思想。例如求圆锥曲线最值问题时，可借助曲线图象观察变化情况；在学习双曲线渐近线时，可先借助几何画板理解“无线接近”的含义，在从代数方向证明。
        2、类比思想。对比研究不同曲线性质，这里的类比既有研究内容上的类比，又有研究方法上的类比。
        3、化归思想。反思不同曲线性质内在联系。例如学习离心率，可以引导学生思考：教材中给出了椭圆、双曲线的离心率均为，那么抛物线，圆有没有离心率？离心率不同范围为何就可以表示不同的圆锥曲线？不但要学生知其然还要知其所以然。这样既激发了学生的学习兴趣，又培养了学生的学习能力和数学严谨性。
        4、函数与方程思想：例如在解决直线与圆锥曲线位置关系时，常常将直线与圆锥曲线联立利用韦达定理计算求解,并将题目中的隐含条件用两根和、两根积等形式表示，通过对方程求解或应用函数性质解决问题。
        四、注重挖掘公式、定理及性质的数学价值，提高学生自身的素质
        1、注重挖掘公式、定理及性质的人文价值。对圆锥曲线的研究，古希腊就已经开始了.现在看似简单的内容却是数学家们上千年的思考和探索的智慧内容。阿波罗尼奥斯在只有纯几何法的前提下提出并证明了500多个命题[2]，这是非常困难的。在教学时，适当的穿插一些数学史料或者励志故事，有助于激发学生的学习兴趣，培养学生的锲而不舍的精神，提升学生的自身素质。
        2、注重挖掘公式、定理及性质的审美价值。圆锥曲线性质中存在着大量数学美的素材，教师要充分挖掘和呈现这些“美”。例如:圆锥曲线范围、对称性等具有对称美；双曲线渐近线证明的严密的逻辑美；三种圆锥曲线离心率，体现了数学的统一美与和谐美。
        3、注重挖掘公式、定理及性质的应用价值。圆锥曲线的焦点犹如人的“心脏”，围绕焦点的问题丰富多彩！教学时不能仅局限于焦点坐标和曲线定义，还应深入挖掘与焦点有关的性质，例如椭圆、双曲线、抛物线的焦半径、焦点弦、焦点三角形等，这些性质也有浓郁的数学史背景，教师还可以引导学生深度探究圆锥曲线的光学性质。如从椭圆的一个焦点处发出光线照射到椭圆上，经反射后都通过另一个焦点（如图1）.从双曲线的一个焦点处发出光线照射到双曲线上，经反射光后使光线散开，如同光线是从另一个焦点发出来的（反射光线的反向延长线必过另一个焦点）（如图2）.从抛物线的焦点处发出的光线照射到抛物线上，经反射后都平行于抛物线的对称轴。反之，平行于抛物线对称轴的光线照射到抛物线上，经反射后都通过焦点（如图3）。

椭圆的光学特性常被应用于设计一些照明设备或聚焦装置，如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上。双曲线的光学特性（反向聚焦）在天文望远镜设计方面被广泛应用。抛物线的光学特性应用于设计聚能装置或定向发射装置等。如汽车大灯，探照灯等的反射镜面，把光源聚于焦点处，经镜面反射后变为平行光线，使照射距离加大，并通过旋转抛物线的对称轴控制照射方向。
总的来说，对公式、定理、性质的教学要注意两方面：一是以知识和技能的掌握为根本对数学文化进行理解和认识，弘扬数学文化价值只能让学生在学习数学的过程中得以实现。怎样生成知识的形成过程，在这些学习中要让学生受到哪些启发是教师要思考的问题。二是课堂教学中落实数学文化，必须基于课程标准、立足教材，必须立足于学生的实际，不能脱离学生的已有经验和认知特点，将教学以外的和超出学生认知能力的东西强加给学生，否则，要么偏离了学习目标，要么令学生望而生畏，最终事与愿违[3]。
参考文献
[1]徐德明.高中解析几何知识中数学思想方法的教学策略研究.[J]硕士学位论文，2017
[2]肖鹏，韦煜.文化视域下数学史融入课堂教学研究——以丹德林“双球模型为例”.[J]数学教学研究，2017
[3]赖白雪.数学文化视阈下的高中数学教学策略研究.[J]硕士学位论文，2019