【摘要】近年来，数学多元表征在教学中的应用引起了越来越多的专家学者和一线教师的关注，怎样在教学实践中更大程度发挥出数学多元表征的作用成为值得探究的问题。笔者尝试以《分数的初步认识》中的几个教学片段，提出对该环节设计的理解，以及数学多元表征在其中的应用与可改进之处。
【关键词】认识分数；多元表征；思维提升
分数的初步认识是在学生认识了万以内的数、掌握平均分的基础上组织教学的，是对学生已经认识的数（整数）的第一次扩展。分数的认识分为两个学段来教学：三年级上册通过问题情境，结合生活实例和具体操作，从“整体——部分”的角度初步认识一个物体的几分之几。五年级下册则是在此基础上引导学生抽象出单位“1”的概念，概括出分数的意义。于本单元而言，认识几分之一是认识几分之几的基础，是整个单元的起始课。学生掌握分数的基本知识，感悟数形结合的数学思想，为三年级下册初步认识小数和五六年级进一步理解分数的意义打下基础。
本节课的教学重点是初步认识分数的含义，对于学生而言，“分数”并不是完全陌生的概念，在生活中已经积累到一些关于分数的经验。但在数学学习中，学生熟悉的是整数，与之相比，分数无论是读写方法还是具体含义都有很大的不同，尤其是分数不仅可以表示一个具体的量，还可以表示两个量之间的关系这一抽象概念，学生较难理解。此外，怎样根据给出的没有均分的图形，估计各部分大约占整体的几分之一，学生也存在一定困难，学生不仅需要合理把握给出的各部分的大小以及它们与整体之间的关系，而且需要把这种关系与头脑储存的相关的分数表象进行适当的比对，进而作出合理的判断。
探明学生学习的困难点和生长点，在进行本节课的教学设计时，需要思考：可以开展怎么的学习活动，使得学生能够逐渐“云开见月”。多元智能理论创始人加德纳认为：任何一个重要的、复杂的概念都可以运用多种方式来理解和表达。郑毓信教授则提出：应当帮助学生建立概念的多元表征，并根据需要与情境在表征的不同成分之间做出灵活的转换，使学生对数学概念有一个更深刻、更全面地认识与理解，培养学生思维的灵活性。
因此，在教学《分数的初步认识》时，尝试让学生经历数学多元表征的过程，不仅仅给学生提供多元化问题解决方案，更重要的是培养学生多样化思维方式和习惯，促进学生思维品质的全面提升。
一、自主表征，体悟分数意义
数学学习的样态多种多样，不同的数学思维获得不同的数学理解，得到不同的数学发展，数学学习与思维的过程和结果，既有内隐的心理层面的反应，也有外显可视、可听、可感的数学化表达，也就是数学多元表征。基于数学多元表征理论，学生在学习数学知识的过程中，应当尊重学生思维发展规律，鼓励学生运用多种不同的方式来记录和表达自己头脑中对数学的理解与思考。
教学片段一：
师：秋天是秋游的好季节，瞧，这两个小朋友为秋游准备了4个苹果，2瓶水和1块蛋糕，要把这些食品分给两人，怎样分才公平，每人分得多少？
生：把4个苹果平均分给两人，每人分得2个。
生：把2瓶水平均分给两人，每人分得1瓶。
师：你们分得真公平，每人都分得一样多，像这样，每人分得一样多的情况，在数学上我们就叫它平均分。
师：那1块蛋糕，要平均分给两个人，每人可以分得多少呢？你能用一个符号或数表示出你的想法吗，请你把它记录下来。
并联呈现：
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师：仔细看，你看懂他们的想法吗？
生：要把一块蛋糕平均分给2个人，可以从中间切一刀，每个人可以分到半个，也可以说的是0.5个。
生：把这块蛋糕看作2份，每个人都可以分到一份。
师：同学们真是了不起，能用自己的方法表示出结果。在数学上，半个也就是二分之一个。把一块蛋糕平均分成2份，每份就是它的二分之一，写作。
师：现在你知道是怎么来的了吗？和你的同桌说一说。
生：把一个蛋糕平均分成2份，每份就是它的。
师：说的真完整，谁还能像他一样再来说一说。
师：我们一齐说一说。
本节课是学生第一次认识分数，而分数的意义又较多，因此核心是让学生明白分数的第一个意义，表示部分与整体的关系即可。通过秋游分食品这一情景表征，引导学生体会分数的产生源于生活实际需要。给予学生充分的时间尝试自己表示分的结果，学生边操作边想，教师及时补充，在学生已经积累了丰富的感性经验的基础上引导学生逐步条理化和抽象化，一步步自然地走进问题的核心，即在动作表征、图像表征后抽象出符号表征，帮助学生突破难以理解分数含义的难点。
“把一个物体平均分成几份，每份就是它的几分之一”这一语言体系将要贯穿整节课的学习，也是学生在理解分数是在平均分的基础上，表示部分与整体的关系后，第一次尝试用这样的语言表征分数的意义，因此，在组织教学时让学生经历独立思考、同桌交流、集体分享这一完整的过程，旨在让学生学会怎样熟练运用数学化的语言进行表述，同时也是给予学生足够的时间，将外在表征逐渐转化为内在表征和自觉的思维方式，为接下来的学习奠定基础。
二、多元表征，促进理解进阶
数学学习既要基于知识发生发展的逻辑起点，也要基于学生的经验起点。单
一表征往往停留在问题表面或某一面，导致“对问题内涵及本质准确刻画的缺位”。与单一表征相比，多元表征具有角色互补、限制解释、建构深度理解三大认知功能，从而达成数学概念的意义建构。为此在教学中可以应用情境表征、实物操作表征、图形表征、书面符号表征、日常语言表征等多元表征促进数学理解。
教学片段二：
师：刚才我们已经得到了蛋糕的，你能表示出正方形的吗？
活动要求：1.折一折：拿出1号正方形纸，折出它的。
2.画一画、写一写：把它的用彩笔画上阴影，并将标在图中 。
3.说一说：和你的同桌说一说表示什么意思。
并联呈现：
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师：谁找到了正方形的，你能介绍一下你新认识的朋友是怎么来的吗？
生：我把正方形的纸对折，也就是把正方形平均分成2份，每份就是它的。
师：为什么大家分的方法不一样，却都能用表示呢？
生：因为虽然分法不一样，但是它们都是将正方形平均分成了2份，每份就表示它的。
师：你听懂他说的了吗？看来，无论怎样分，只要是平均分成2份，每份就是它的。
师：刚才我们找到了正方形的，你能像这样继续找到吗？
并联呈现：
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师：这里长、正方形的形状、大小不一样，为什么阴影部分都能用表示呢？和你的同桌说说看。
生：刚才我们已经知道，无论怎样分，只要平均分成4份，每份都是它的。
师：你真会学以致用，无论怎样分，被分的这个物体是什么形状，只要是平均分成4份，每份就是它的。
在解决秋游分食品这一实际问题的过程中，学生已经初步理解分数的含义，
并能用语言将其表征出来。那么怎样加深学生对的理解，并在此基础上认识，实现对分数认识的拓展呢？笔者设计了两个学生活动，提供给学生易操作、易观察的长、正方形的纸，学生通过折一折，体会折的过程就是平均分的过程，进而在资源对比后，理解“一个物体平均分成几份，每份就是它的几分之一”这一本质含义，与分法和被分物体的形状大小无关。
在设计这两个学生活动时，出现过这样两个困惑点：一是本节课的教学重点是让学生理解分数的含义，那么学生充分的操作、多样的创造是否具有教学意义。二是学生对分数的理解停留在对操作过程的阐释，如“表示把正方形对折，然后给其中1份画上阴影”，怎样才能让学生理解既表示平均分的过程，也表示平均后的结果。
对此，笔者进行了如下思考：儿童学习概念的初始阶段，或因受固有经验负
迁移，或因概念的非本质属性干扰，容易出现“只图其表，不知其里”的现象。因此，适当的、多样的对比显得非常重要，呈现学生不同的表征方法，帮助学生感悟：分数表示的是部分与整体的关系，与形状大小等属性没有关系，同时也是对学生创造性这一思维品质的提升。学生习惯用分的过程表达分数的含义，这也是情有可原的，因为学生所经历的是折一折的过程，在教学中教师只需要进行“对折也就是平均分成2份”这样的语言引导，将学生的语言转译为数学化的语言。在活动中，添加将分数表示在图中这一具身活动，也能加深学生感受。
三、由外向内，走向思维深处
多元表征是一种认知心理显性，一般是指借助多种表现形式，将要探究的
知识以多种的认知方式展现，可以是心理的、主观的东西（内在表征），也可以
是外在于人脑的、客观的东西（外在表征）。从教学的角度看，更应该深入研究教师在教学中应当如何使用各种外部表征才能帮助学生建立真正反映概念本质的内在表征。
教学片段三：
师：生活中也有很多的分数，仔细观察，下面的图片让你联想到了几分之一。
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生：奔驰标志我联想到了，法国国旗我联想到了，风车让我联想到了
巧克力让我联想到了。
师：巧克力只能看到吗？
生：（学生指着实物投影，边分边说）我还看到了，我们也可以把巧克力平均分成4份，每份就是它的。
生：我还能看到，可以这样把巧克力平均分成2份，每份就是它的。
师：你们真善于发现，同一个物体，平均分的份数不同，每份可以用不同的
分数表示。
师：从一些图案中我们可以联想到几分之一，猜一猜，这里的涂色部分可以
用几分之一表示呢？
师：你能想办法验证一下自己的想法吗？拿出你的学习单试一试。
呈现资源：
生：我用折一折的方法，平均分成4份，发现涂色部分刚好是1份，所以涂
色部分可以用来表示。
生：我是用量一量的方法，我量了长方形的长是12厘米，涂色部分的宽是3
厘米，12÷3=4，所以涂色部分是长方形的。
学生抽象思维品质的提升，不仅要看到看得见的，还要看到看不见的，这里的看，就需要学生用心去看，用“你只能看到吗？”这个问题，打开学生思维，学生突破思维定势后，可以在已经逐步形成的抽象思维基础上，再进一步抽象，想到在心里分一分，不仅可以从外在的图像表征中抽象出符号表征，还能以内在思维品质经历动作表征、图像表征的过程，再抽象出符号表征。学生思维的此次提升，既有为继续探究本课打下基础的短期价值，也有为今后数学学习渗透抽象基本数学思想的长期价值。
教学进行到此，学生已经经历了丰富的学习活动，在学习过程中形成了相应的活动经验。杜威说：“一盎司的经验胜于一吨的理论，只因在经验中，任何理论才具有充满活力和可以证实的意义。”基于学生难以根据给出的没有均分的图形估计各部分大约占整体的几分之一的学情，设计了一道估计的题目，估计不是随便猜，是有方法的。估计的过程，实际上就是对被估计的物品与单位量进行比较的过程。学生在认识和时，是完整经历了折一折、画一画、写一写和说一说的过程，因此，学生面对没有平均分，不能直接找到几分之一的长方形时，比较容易能想到要将长方形的纸折一折，或者是量一量来完成，学生的活动经验在此得到升华，成为他们今后学习这一类问题的能力基石。当学生很难直接通过图像表征走向符号表征时，激起他们在心里分一分的意识，借助内在表征系统解决问题，不断提升学生内在表征水平，促进学生思维水平的深度提升。
课堂教学的追求是无止境的，尽管经过多次的尝试与实践，对于《分数的初步认识》这节课仍然会生出“顾此失彼”之感。在教学过程中，已经将分数的意义用多种表征形式进行数学化呈现，通过动作表征、图像表征、符号表征等教学策略丰富了学习方式，促进了数学理解，但怎样更好的实现表征之间的相互转译，让多元表征成为学生思维走得更远的桥梁仍需要更多的探索。
主要参考文献：
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