石河子大学信息科学与技术学院 石河子市 83200
摘要：本论文是对理想以及实际情况下的“同心鼓”项目的具体研究分析，首先论述了在理想条件下，运用动量守恒定律、理想模型等方法，找到能够满足目标的条件下参赛者所用最小的力的表达式以及颠球高度：0.4m；接着在实际情况下，对于时间小于或等于0.1s时鼓的转动可以近似看作是匀加速的转动，这种情况下算出了因发力时机和用力大小不同鼓所产生的鼓面倾斜角；因角度因素的影响，根据问题一的模型来调整所施在绳上的合力大小，最后通过镜像法找出能够改变落下有倾角的排球的倾角所对应的鼓面的法向量位置，把与竖直方向有一定偏角的下落排球通过改正鼓面的倾角来达到使排球运动方向的修正。
关键词：同心鼓；非弹性碰撞；动量定理
1 问题重述
1.1 背景知识
“同心鼓”又叫击鼓颠球，是考验团队合作的拓展项目。该项目需要一面牛皮材质的双面鼓，且每根绳子的长度相同。项目的目标是在不犯规的前提下，使连续颠球的次数尽可能的多。
1.2 相关数据
排球和鼓的质量分别为270 g和3.6 kg，鼓面的半径为20 cm，且鼓身的高度为22 cm。项目开始，球从鼓面中心的正上方40 cm出下落，并且被弹回的高度距与鼓面的碰撞点要大于等于40 cm。
1.3 问题概括
问题（一）：假设在理想的状态下，每个队员都可以精准的控制用力的方向、力度和时机，给出在这种理性状态下团队最佳的协作策略和该策略下的颠球的高度。
问题（二）：在非理想状态下每个队员不可能都能精准的控制用力的力度和发力的时机，建立模型给出队员用力的力度和发力的时机与时间的定量关系。
问题（三）：在现实情况下，应用问题2的模型，调整问问题以中的策略。
问题（四）：由于鼓面的倾斜，是下一次排球弹出鼓面时沿竖直方向，给出合作策略。
2 问题分析
2.1 问题一分析
针对问题一，在理想状态下，不考虑人的用力方向、时机和力度会出现差错的情况下，此过程中球下落至水平面的时间与鼓下落并再次上升至水平面的时间相等。最终可算出力的一个不等式，不等式的临界值是力的最小值，这便是团队的最佳协作策略。
2.2 问题二分析
因为队员不能精准控制发力时间和力度，所以鼓平面会发生倾斜，鼓平面在空间内不仅有竖直方向和水平方向的平移，还有旋转的运动。根据模型，求解在队员有失误的情况下，0.1秒时间内鼓的偏转角度。
2.3 问题三分析
针对问题三，题目需要考虑在现实情形中题目一中所给的策略，在问题二的模型中，进而根据问题一的公式求出鼓在全过程中所受到的来自绳的恒力大小。
2.4 问题四分析
该问题是对前边所有问题的一个综合，问题的目标是将偏离竖直方向的排球调整成竖直上抛运动。鼓在水平面上的平动可以弥补排球在水平方向上的位移，向上的运动要保证与鼓碰撞后，可以使得排球谈到60cm的高度，并且要调整鼓的平面的倾斜角度，以保证排球会被沿竖直方向弹回。
3 问题假设
假设一：不计排球与鼓在水平位置碰撞的能量损失
假设二：排球与鼓的碰撞为完全弹性碰撞
假设三：碰撞后鼓的速度为0
假设四：问题二中鼓面与水平面所形成的夹角在上升过程中不改变
4 模型的建立与求解
4.1.1问题一的模型建立
由题目的描述可以得出，若排球从鼓的上方40cm开始下落，则可以假设，此时球相对于此水平面距离40cm。
排球开始下落时，由自由落体的位移与时间的关系可以得出：
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（1）
此处g取10
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。
①式变形可以求出排球的下落时间t：
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（2）
此时h=0.4m，则t=0.282s。
分析可以得出，鼓的运动可以分成两个阶段。这一阶段的时间设为
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。
撞因为球的自由落体与鼓的自由落体同时开始，又在水平面处同时相，则可以得出这一阶段的时间等式：
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（3）
根据题目的规则，排球与鼓相撞后，上升的高度必须大于等于40cm，则此处假设排球与鼓相撞后球上升40cm。由自由落体的速度公式可得：
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（4）
由④式可以计算出球落在水平面处但未与鼓相撞时刻的速度
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=
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。规定向上为正方向，则可以根据动量守恒定律得：
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（5）
这里由于规则规定小球的上升高度大于等于40cm，这里假设小球碰撞后上升的高度为40cm，则碰撞过后的以初速度
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上升，并在距离水平面40cm处速度减小至0。又由于高度和加速度和第一阶段排球下落的相同，所以可以得出速度的关系式：
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（6）
结合⑤式和⑥式可以得出：
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（7）
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（8）
则
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=0.424
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。
通过受力分析可得，鼓在竖直方向上的受力情况为：
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（9）
又可以通过冲量定理可得，冲量在时间上的积累等于动量的变化量：
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（10）
等式两边同时乘
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得：
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（11）
结合（9）和（11）式得：
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（12）
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（13）
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（14）
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（15）
综上可表示出F的表达式：
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（16）
4.2.1问题二的模型建立
模型二：
假设以与鼓的侧面相切且与鼓面平行的方式做出转动的轴，且该轴经过了一个人所拉绳子与鼓的交点。建立的参考系是轴并非是地面，因此对于鼓来说，鼓就相当于只有转动，就不用再考虑鼓的上升和平动，鼓在转动的过程中，将每个作用鼓的绳子上的力沿着鼓面和垂直与鼓面的方向分解，运用刚体定轴转动定律：
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（17）
其中，（
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），再运用对角加速度的积分，就可以算出任意时下鼓所转过的角度了。
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（18）
4.3.1问题三模型建立
在第一问的基础上，根据问题二的模型，鼓与水平面存在某一夹角
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，假设鼓在起始位置所形成的夹角在鼓上升的过程中不受其他外力影响因而保持不变。
当排球与鼓发生碰撞时，则此时鼓和球在竖直方向上的运动状态符合问题一的模型，球在竖直方向上的运动分量如图所示，竖直方向上的运动是自由落体运动，则可根据问题一中的模型算出Vy的大小，
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=
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。
碰撞后，排球的实际速度方向与竖直方向之间成2①度的关系，则可以得出排球的实际速度：
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（21）
则Vp=
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=2.83
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.
根据问题一中的模型可以求出，鼓在碰撞前的速度
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：
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则根据问题一的（16）式可得，
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4.4.1问题四的模型求解
排球被弹开是竖直方向的速度为
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其中
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、
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，所以，
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，
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，其中 1 为角度制中的1度，排球在空中做斜抛运动的时间为
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，排球在斜抛运动时的水平方向的位移
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在排球离开鼓面后，鼓先向下做
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高度的自由落体运动，用时为
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，然后在水平方向上做0.20946 m的平移运动，用时为
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，假设鼓水平移动的情况是理性状态，之后向上做
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加速运动，用时为
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，最后用极短的时间
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调整鼓的方向，且假定
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，在该时间内鼓的角加速度不变
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。
因为碰撞过程时间极短，所以认为这个过程在竖直方向上动量守恒，即：
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（23）
所以
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m/s。转动动能
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，其中
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，
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，
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J。根据动能守恒原理可以得到鼓在上升过程中的动能：
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（24）
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J
所以
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m/s。
旋转鼓的过程建模如下：
以垂直倾斜方向在水平面的投影且于鼓的边缘相交的直线为轴线，得到合外力矩
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。所以只要全员配合，某几个或一个成员在0.1秒内提供一个很大的垂直鼓面的力，提供一个合适的合外力矩，则鼓会被转过0.5度。
建立鼓上升的高度
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和上升的时间
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和拉力
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的关系：
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其中：
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，
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，
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参考文献：
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