化归理念在高中数学解题中的应用探究

http://www.chinaqking.com 期刊门户-中国期刊网2020/2/26来源:《教育学》2020年3月总第208期文/李斌
[导读]化归理念是指化难为易、化繁为简、化未知为已知,以实现顺利解题的一种理念。

广西桂林市临桂区五通中学 541199
  摘 要:化归理念是一种解决问题的重要理念,可指引学生解答看似难以解决的问题,促进学生解题能力的提高,因此,授课中应把握高中数学的重点、难点知识,结合具体例题,为学生讲解化归理念的应用,并传授相关的化归方法,使学生掌握相关的化归技巧,以灵活解答各种数学问题。
  关键词:高中数学 化归理念 探究
  化归理念是指化难为易、化繁为简、化未知为已知,以实现顺利解题的一种理念。基于对化归理念的深入研究,并认真总结高中数学教学经验,教育工作者总结了常用的化归方法,主要有:换元法、特例法、构造法等。高中数学解题中应注重这些方法的应用讲解,使学生彻底掌握,灵活应用。
  一、换元法的应用
  学生对换元法并不陌生,在初中阶段已有接触。通过换元可将复杂的超越式转化为整式或有理式,使看似复杂的问题,变得简单易于解决。为提高学生换元法解题的应用意识与能力,一方面,为学生讲解换元法的类型,如均值换元、三角换元、局部换元等,并选择有代表性的试题,课堂上与学生一起分析解答,使学生感受换元的过程与细节,体会换元法在解题中的便利。另一方面,讲解应用换元法解题的技巧以及相关细节问题,避免学生在应用中走弯路。如换元过程中不能改变相关参数的范围。
  例1:当实数x,y满足x2+y2=1时,|x+2y-a|+|3-x-2y|的取值和x,y没有关系,则实数a的取值范围为:____。
  很多学生看到该题目无从下手,究其原因在一起没有深入理解题意。事实上,根据以往解题经验,只要将绝对值展开后,消去x,y即可,此时只需要判断绝对值的符号。这里不妨设x=cosθ,y=sinθ,则3-x-2y=3-cosθ-2sinθ,考虑到cosθ+2sinθ的值域为[- 5, 5],则3-x-2y的值域为[3- 5,3+ 5],因为3- 5>0,因此,可将“|3-x-2y|”中的绝对值直接去掉,此时只要满足,x+2y-a≥0,即可满足题意,即,a≤x+2y=cosθ+2sinθ,其最小值为- 5,因此,a的取值范围为(-∞,- 5]。
  二、特例法的应用
  特例法能极大的简化高中数学习题的解题步骤,提高解题正确率,因此:授课中为使学生掌握这一重要的划归方法,一方面,结合具体例题为学生讲解应用常规方法以及特例法的解题过程,使学生分析特例法的优点,掌握特例法的适用题型,提高其应用特例法解题的意识。另一方面,给予学生特例法应用的指引,即:特例法有着其局限性,平时应注重总结特例法的应用规律,具体问题具体分析,不能对其产生依赖,日常解题中仍应注重掌握常规解题方法。
  例2:已知椭圆方程为: + =1,点P为椭圆上第一象限内的任意一点。过椭圆的右顶点A和上顶点B,分别做平行y轴和x轴的直线,其相较于点C。过点P引BC、AC的平行线和AC相较于点N,和BC相较于点M,和AB分别相较于D、E两点,设矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1:S2=___。
  该题目属于圆锥曲线题目,很多学生被其复杂的计算而吓倒。在解答该题时根据题设条件绘制出对应的图形如图1所示,显然采用传统方法计算难度较大,难以求解。此次教师可引导学生采用特立法进行求解,即,不妨设点P的坐标为(4, ),则不能计算出S1=(3- )×(5-4)= ,而PD=2,PE= ,即,S2= ×2× = ,显然S1:S2=1。
  三、构造法的应用
  构造法是一种难度较大的划归方法,对学生的分析与抽象能力要求较高,但其能很好地提高解题效率,授课中为使学生掌握最重要的方法,一方面,在讲解相关例题后,应注重对学生进行针对性训练,同时给予学生应用过程中的点拨,增强其学习的自信。通过训练使学生自己总结构造法的应用方法,积累相关的应用经验。另一方面,鼓励学生之间相互分享构造法的应用技巧,要求学习者结合自己的实际情况,注重借鉴他人的技巧,总结一套适合自己的应用策略,不断地提高应用构造法解题的水平。
  例3:已知16cosC+4sinB+tanA=0,sin2B=4cosCtanA,且cosC≠0,求   的值。


  该题目推出的已知条件较少,对学生的学习能力是不小的考验。多数学生采用常规解法,往往半途而废,得不出最终的结果。授课中可要求学生认真观察已知条件,尝试着采用构造法求解。结合该题特点,可采用构造方程的思路进行求解。显然有已知条件可令a=4,由16cosC+4sinB+tanA=0,可得a2cosC+asinB+tanA=0,∵cosC≠0,因此,a2cosC+asinB+tanA=0为关于a的一元二次方程。则△=sin2B-4cosCtanA=0,表明方程有两个相等实根,即:t1=t2=4。由根与系数的关系不能得出   =t1·t2=16,因此tanA≠0,则   = 。
  参考文献
  [1]于美芳 化归思想在高中数学解题过程中的应用分析[J].数学学习与研究,2019,(13):134。
  [2]吴玲 解析化归思想在高中数学教学中的应用[J].数学学习与研究,2018,(01):140。
  [3]许丽芳 例谈高中数学教学中化归思想的运用[J].当代教研论丛,2017,(04):48。