浅谈数学中的一题多解与一题多变

http://www.chinaqking.com 期刊门户-中国期刊网2019/12/13来源:《中小学教育》2020年第392期文/董利杰
[导读]新课程标准明确指出, 课堂教学要突出学生的主体地位, 考虑学生的身心发展规律。

山东省淄博市临淄区边河中学 255400
        摘 要:新课程标准明确指出, 课堂教学要突出学生的主体地位, 考虑学生的身心发展规律。在数学教学中采用一题多解与一题多变的思想方法, 一题多解与一题多变的变式在教学之中, 往往起到一座桥的作用, 在最近发展区能把学生从已知的彼岸渡到未知的彼岸, 有利于学生提高解决综合问题的能力。
        关键词:数学 一题多解 一题多变
        数学, 是一门自然学科, 同时也是一门逻辑性很强的学科,所以学好数学, 对于大多数学生是很难的一件事。大多数学生认为数学枯燥、乏味,对数学学习提不起兴趣。“如何帮助学生学好数学? ”便成了教师们的首要任务。
        数学题是做不完的, 因此我们要采用巧妙的方法解决这个问题。我认为要使学生学好数学, 要从提高学生学习能力和学习兴趣两方面着手。在数学教学过程中, 通过利用一切条件, 采取一题多解与一题多变的形式进行教学, 这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性是一种很好的方法。
        在赵振威著的文献[1]中, 详细地讲解了学好数学要采用一题多解与一题多变的思想方法;在文献[2]、[3]中作者讲解了一题多解在初、高中数学的运用;文献[4]说明了在高中数学教学中要充分利用课本上的例题和习题展开一题多解与一题多变的教学。由此可见, 在数学教学中采用一题多解与一题多变的思想方法是很重要的。
        那么, 下面就教学中如何运用“一题多解”与“一题多变”两个方面展开谈谈。
        一、一题多解
        1.何为一题多解
        一题多解, 就是引导和启发学生运用不同的方法, 从不同角度、不同思路, 解答同一道数学问题。
        用多种解法解答同一道数学题, 就是要充分运用学过的基础知识调动一切解题手段, 从各个不同的角度去探索解题途径。 在这样的过程中, 通过分析比较, 研究哪些途径是可行的, 哪些是不可行的; 鉴别哪些方法灵活巧妙, 哪些方法呆板冗繁; 探讨哪些方法具有普遍意义, 有推广价值, 哪些方法特殊性强, 局限性较大, 没有推广价值, 从而有助于我们从本质上了解数学的内部联系, 找到最优的解题方法, 提高解题能力。
        2.例说一题多解
        【实例】试证: 内接于已知圆的矩形中, 以正方形的周长为最大。
        证法一:此题是一个几何证明题。如果从本题的特殊性出发, 注意到圆内接矩形的对角线是直径, 且直径把矩形分成两个直径为底边、定角为直角的全等三角形, 则可用几何方法来证明。
        如图1, 矩形ABCD内接于圆, 连结AC, 则AC为已知圆的直径, 且△ACD≌△CAB(1)


        △ACD和△CAB都是底边为已知圆的直径, 顶角为直角的三角形。注意到在底边和顶角给定的所有三角形中,以等腰三角形的周长为最大。所以,当AD=DC,AB=BC(2)时,△ACD和△CAB的周长为最大, 从而矩形ABCD的周长为最大。
        (1)、(2)式表明, 这时矩形ABCD即为正方形, 由此得证。  
        证法二:此题也是一个极值问题。如果从极值问题的一般思维方法入手, 这可根据题设条件, 恰当地选择自变量, 建立函数关系式, 把实际问题抽象为函数极值问题。选择不同的自变量, 得到不同的函数关系式。本题中, 如果把矩形的一边作自变量, 那么由此可得到一个用无理函数表达的关系式。对于用无理函数给出的关系式, 由于自身的特殊性, 可转化为二次函数, 由此用配方法推证。


        如图2, 设已知圆的直径为d, 圆内接矩形一边AB的长为x,则另一边BC的长为 d2-x2、矩形的周长为:
        p=2(x+ d2-x2) (3)
        ∴p2=4[(d2+2 x2(d2-x2)]
        可见p2, 从而p与y=x2(d2-x2)取得最大值的条件是一致的。
        而y=x2(d2-x2)
        = -( -d2x2)
        = -( -x2)2 (4)
        因此, 当时x2= 时, p2有最大值, 从而p有最大值。也就是当x=  d时, 所得矩形周长最大。 
        此时, BC=  d, 则AB=BC, 即当内接矩形为正方形时周长最大。
        评注:上面我们采用一题多解的方法用两种方法证明了实例1。可以看出, 证法一过程比较简洁, 是典型的几何题证明思想, 充分利用了本题的特点, 但特殊性较强, 如果问题变化了, 这种方法就不适用了。证法二是先建立函数表达式, 把具体问题转化为函数极值问题,这样的处理方法, 对于这样的问题, 具有一定的普遍意义。但就求函数极值而言, 各种证法又各有其优缺点。证法二用配方法解决函数极值问题, 但是适用范围比较狭窄, 一般只适用于二次函数。 
        以上我们研究了一题多解在数学教学中的运用, 下面让我们展开对一题多变在数学教学中运用的探究。
        二、一题多变
        1.何为一题多变
        一题多变, 就是对一道数学题或联想, 或类比, 或推广, 可以得到一系列新的题目, 甚至得到更一般的结论。
        任何一个数学题, 都蕴含着一定的数量关系或空间形式,深刻认识数学题所反映的这种关系或形式, 可以帮助我们熟悉一些特定的逻辑关系, 掌握发现解题的思维方法。为此, 在解答了某些范例、习题以后,要有锲而不舍的精神, 对数学题的条件和结论或条件与问题作适当的变化, 从各个不同的侧面进行深入的思考。
        2.例说一题多变
        【实例】如图3,已知锐角△ABC的三边分别是a,b,c, 点D是AB上的一点, 且CD=d,AD∶BD=m∶n。 
        
       
        
                
        求证:d2=  b2+  a2-   c2
        证明: 由已知得AD=  c, BD=  c
        在△ABC中, 由余弦定理得: cosA=
        在△ABC中, 由余弦定理得:
        d2=b2+(  c)2-2?b?  c?
        =b2+   c2-
        =b2-  b2+  a2+   c2-  c2
        =  b2+  a2-   c2
        得证。
        上述例题证完,紧接着进入问题的变式。
        变式1:如图4, 当点D是AB的中点时, 求证:


        d=  2(b2+a2)-c2
        证明: 由已知得,CD是AB的中线, 所以m∶n=1∶1,
        从而由余弦定理得:
        d2=b2+( )2-2?b? ?
        =b2+ -
        =
        ∴d=  2(b2+a2)-c2
        得证。
        变式2:如图5, 当CD是AB上的高线时, 即点D为垂足。


        求证: d=  p(p-a)(p-b)(p-c),
        其中p=   。
        证明: 在△ABC和△ADC中,
        cosA=   =
        AD=
        同理 BD=
        ∴m∶n=(b2+c2-a2)∶(a2+c2-b2)
        在△ADC中由余弦定理得:
        d2=b2+(     )2-2?b?    ?
        =b2+     -
        =
        =
        ∴d=  p(p-a)(p-b)(p-c)
        得证。
        变式3:如图6, 当点D是∠BCA的角平分线与AB的交点时,


        求证:d=   abp(p-c)
        证明: 由角平分线定理得:
        m∶n=b∶a, 
        在△ADC中, 由余弦定理得:
        d2=b2+(   c)2-2?b?  c?
        =b2+   -
        =
        =
        =
        ∴d=   abp(p-c)
        得证!
        评注: 我们利用一题多变的思想对实例3进行了变式, 是从一般到特殊的思维过程, 每一种变式都涵盖了一种三角形的性质, 有助于我们把所有类似的性质统一起来, 有助于记忆和利用。我们探讨了锐角三角形的性质, 那么这个问题的结论同样适用于钝角三角形和直角三角形.
        从上面的讨论可以看出, 思考数学题的各种变化形式, 是一种极为有益的学习方法,可以帮助我们深入研究数学问题, 拓宽数学基础知识, 切实提高解题能力。
        一题多解是解法发散, 而一题多变可以是题型发散、纵横发散或转化发散等, 所谓题型发散是将典型问题, 变换其题型的一种发散思维; 纵横发散是通过两个或多个发散点间的联系以及发散点与其它知识点间的联系, 借助例习题形成发散思维; 转化发散是通过保持原命题的实质而变换其形式的发散思维。
        参考文献  
        [1]赵振威 著 怎样学好数学[M].北京:科学出版社,1986。
        [2]孙晓天 史炳星 著 走进课堂—初中数学新课程案例与评析/数学课程[M].北京:高等教育出版社,2004。
        [3]王易 对课本一道习题的研究[J].数学通讯,2007(13):15-16。
        [4]佚名 一题多解与多变在数学教学中的作用[Z].http://eblog.cersp.com/userlog/15163/archives/2006/82624.shtml 2006-8-27。