使用GeoGebra软件构造多面体立体图形

http://www.chinaqking.com 期刊门户-中国期刊网2019/1/10来源:《科技新时代》2018年11期文/崔家瑞
[导读]GeoGebra是一款动态数学画图软件,绘图内容包含几何、代数、图形、表格等。

东北育才学校  辽宁  沈阳  110000
       
       
        摘要:本文主要介绍使用软件GeoGebra绘制多面体的方法。首先简单介绍GeoGebra软件的窗口功能,简单绘图方法;之后对几种常见的多面体进行简单介绍;然后,结合具体实例介绍在GeoGebr中实现三维空间中动态旋转的正八面体和截角正四面体、截半正方体的构造,进而展现多面体构造过程和使用GeoGebra软件给数学学习带来的便利。最后,介绍足球、菱形六十面体等复杂多面体的构造方法。
        关键词:GeoGebra 多面体
       
        1. GeoGebra软件简介
        GeoGebra是一款动态数学画图软件,绘图内容包含几何、代数、图形、表格等。GeoGebra的优越性体现在:一方面,GeoGebra是一个几何软件,可以在上面画点、线段、向量、多边形、直线、圆锥曲线和函数,也可以根据需要设计图形的颜色、显示方式等;另一方面,也可以通过直接输入曲线方程或点坐标或图形名称的方式,直接画出所需要的图形。因此,GeoGebra既可以处理变化的量(例如数据、向量、角度等),也可以对数值进行计算(例如函数的微分和积分,求解方程等)。由此可见,GeoGebra是一款可以处理代数问题也可以处理几何图形问题的软件。
        下面首先介绍一下GeoGebra软件的操作界面及基本使用规则。
        图1.1
       
        如图1.1所示,用户操作界面是标准的窗口操作界面,有代数区、绘图区、菜单栏和工具栏。其中代数区显示图形中的点、线、面、变量等基本要素信息;绘图区显示所画出的图形,可以隐藏、设置颜色等;菜单栏中的“窗口”选项和文件中的“新建”选项都可以创建新的图形。创建时可以建立新的绘图区域,在视图中可以选择该区域的类型(绘图区2、代数运算区、作图过程、概率统计、3D绘图区等)。GeoGebra的重要的窗口有几何窗口、代数窗口和工作表窗口。1
       
        2. 多面体图形简介
        2.1多面体图形的基本性质
        多面体是指由多个平面多边形围成的几何体。常见的多面体有凸多面体、简单多面体、正多面体等,多面体图形有以下简单的性质:
        i. 一个多面体最少由四个面组成。多面体按面数可以分为四面体、五面体、六面体
        等。
        ii. 欧拉公式:定点数+面数-棱数=2。
        2.2多面体图形的类型
         多面体根据面与棱的分布特点亦可分为棱锥、棱柱、正多面体等。

       
        图2.1多面体图形
        2.2.1正多面体
        正多面体又称柏拉图体(Platonic Solids),指多面体的各个面都是全等的正多边形。共有五种:正四面体(Tetrahedron)、正六面体或正方体(Hexahedron或Cube)、正八面体(Octahedron)、正十二面体(Dodecahedron)、正二十面体(Icosahedron)。
        2.2.2阿基米德多面体
        阿基米德多面体(Archimedean So lids)又称半正多面体,是指由一种或多种正多边
        形面组成,而又不属于正多面体的凸多边形,要求每个顶点的组态均一致,且不包含柱体族(Prism) 和反柱体族(Antiprism)。2
        阿基米德多面体共有十三种:
        i. 截角多面体:截顶四面体(Truncated tetrahedron)、截顶六面体(Truncated cube)、截顶八面体(Truncated octahedron)、截顶十二面体(Truncated dodecahedron)、截顶二十面体(Truncated icosahedron)。
        ii. 截半多面体:截半正方体(Cuboctahedron)、截半十二面体(Icosidodecahedron) 
        iii. 斜方截半多面体: 小斜方截半立方体(Rhombicuboctahedron)、大斜方截半立方体(Truncatedcuboctahedron)、大斜方截半十二面体(Truncatedicosidodecahedron)、小斜方截半十二面体(Rhombicosidodecahedron)。
        iv. 扭棱多面体:扭棱正方体(Snubhexahedronccw)、扭棱十二面体(Snubdodecahedronccw)
        2.2.3开普勒-庞索多面体
        正多边形的边延长直到它们再度相交,便可得到一个星状多边形,比如将正五边形的
        边延长直至再度相交,就可以得到五角星,将正八边形的边延长直至再度相交,就可以得到八角星,将正十边形的边延长直至再度相交,就可以得到十角星。
        上述过程即为平面上的“星化程序(Stellation)”。 若把此程序立体化将正十二面
        体和正二十面体适当地星状化,即可得到四个“星状多面体”,即开普勒-庞索多面体(Kepler - Poinsot Solid)。
        开普勒-庞索多面体共有四种:小星状十二面体( Small stellated
        Dodecahedron )、大星状十二面体(Great stellated Dodecahedron )、大十二面体(Great Dodecahedron )、大二十面体(Great Icosahedron )。
        2.2.4柱体与反柱体
        柱体族(Prism) 和反柱体族(Antiprism)被踢出了阿基米德多面体的家族。柱体族
        和反柱体族是两类最基础的半正多面体,由两个正多边形和一圈正方形或三角形组成。这两类多面体各有无数种。
        2.2.5其它多面体及其知名应用
        2.2.5.1菱形六十面体
        菱形六十面体(Rhombic Hexecontahedron)是worlframalpha.com的LOGO,
        以其独特的数学气息而闻名于多面体世界中。
        2.2.5.2 Spikey多面体
         Spikey多面体图形是Mathematica的LOGO。Mathematica是一款科学计算软
        件,很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统、和与其他应用程序的高级连接。作为全世界应用最广泛的数学软件,Mathematica的logo也同样充满着数学气息。
        2.2.5.3彩球二十面体
               彩球二十面体是圆部式组合(Color Box)折纸的产物,圆部式组合由日本的圆部光伸首次提出,从组成来看,彩球二十面体由一个正二十面体和二十个正三棱锥组成。正二十面体的每个面上都“长”出了一个正三棱锥,便是彩球二十面体的结构了。在现实生活中,彩球二十面体是一种极具装饰性的多面体,用绳带挂起来可作为节日的饰物。
       
        3. 使用GeoGebra软件构造基本多面体图形
        这部分,主要根据多面体图形边、棱、面的关系,介绍用GeoGebra软件实现日常简单多面体构造的过程。通过这一过程,能够更加直观的展现多面体图形在空间中的结构分布及特点。
        3.1动态旋转的正多面体
        构造过程:
        i. 构造两个点A、B
        ii. 在输入指令栏里输入“正八面体(A,B)”,可以得到正八面体,如图3.1.1
         
                
         
        图3.1.2
        vi. 隐藏旋转前的正八面体,启动滑动条即可得到旋转八面体,即可以得到如图
        3.1.3系列的旋转图。
       
           
                 
                 
        图3.2.3
        v. 再次用多边形工具连接原正四边形中每个面上的点可得如图3.2.4(左)
        正四面体截角后的图形,对不同面调节颜色即可得到如图3.2.4(右)。
           
                 
        图3.3.1
        v. 隐藏一切无关对象,只留下连接的线段。这样我们就得到了一个截半正方体,如
        图3.3.2。
         
        图3.3.2
        vi. 使用多边形工具,在截半正方体的表面用多边形覆盖,隐藏所有线段。
        vii. 调节多边形的样式,为多面体上色。
       
        4.复杂多面体的构造
        上文介绍了绘制简单多面体的方法,这一部分介绍复杂多面体,如足球、五重四面体、彩球二十面体、开普勒-庞索多面体、菱形六十面体等多面体的构造方法。
        4.1彩球二十面体的构造
        构造思路:通过观察,可以发现彩球二十面体是从一个正二十面体演变而来,在每个面上长出了一个“角”,这个角是正方体的一个角。
        彩球二十面体的构造方法:
        i. 关闭绘图区,打开3D绘图区。
        ii. 在坐标轴上构造两点A(-1,0,0) B(2,0,0) 。
        iii. 在指令栏输入 正二十面体[A,B] 注:输入时指令栏会有提示。
        iv. 输入完成后,得到一个棱长为3的正二十面体,如图4.1.1 。
         
                
        

        图4.1.2
        ix. 使用3D中的垂线工具,过P点做所选平面的垂线。
        x. 选取 球面(球心与半径) 工具,以P点为球心做球,半径为b,如图4.1.3 。
        

         
        图4.1.4
        xiv. 重复以上步骤,在正二十面体的二十个面上都做上一个角。重复时可使用新建工
        具。
        xv. 隐藏无关对象,得到彩球二十面体的骨架,如图4.1.5 。(除面心点外,其他点
        先不要隐藏,上色时会用到)。
         
        图4.1.5
        xvi. 上色的过程可能会有些繁琐,还是使用传统的方法,用多边形工具对多面体的面
        进行上色。
       
        4.2五重四面体的构造
        构造思路:五重四面体的顶点连接起来是一个正十二面体。所以通过正十二面体顶点的相互连接进行构造。
        五重四面体的构造方法:
        i. 构造两个点A(0,0,0)B(0,2,0)。
        ii. 在指令栏输入:正十二面体面体[A,B],如图4.2.1 。(请确保正十二面体的各点
        相对位置与图中一样,否则构造会混乱)
        
                   
                                             图4.2.2
       
        4.3开普勒-庞索多面体的构造
        构造思路:仿造平面星化程序,进行立体图形中的“星化程序”,得到开普勒-庞索多面体。
        使用普通星化程序,可以得到小星状十二面体和大星状十二面体,以小星状十二面体为例。
        小星状十二面体的构造方法:
        i. 构造两个点A(0,0,0)B(0,2,0)。
        ii. 在指令栏输入:正十二面体[A,B]  。
        iii. 将正十二面体的每条棱延长,直至相交。使用直线工具将所有棱延长如图
        4.3.1。
        
                
        图4.3.2
        4.4 Spikey多面体图形的构造
        Spikey多面体图形的构造方法:
        i. 构造两个点A(0,0,0)B(0,2,0)。
        ii. 在指令栏输入:正二十面体[A,B]。
        iii. 选择正四面体工具,单击正二十面体的一个平面,并选择构成这个平面的两个顶
        点,构造出一个正四面体如图4.4.1。其它十九个面的方法相同。
       
                                  
                               图4.4.2
        4.5菱形六十面体的构造

        
                                      图4.5.1
        构造思路:
             这个多面体也可以从正二十面体构造得出。它其实是在正二十面体的每个三角形上长出来一个“尖”(如图4.5.1),这个尖是由三个菱形和三个三角形成的。注意这里的三角形不是正三角形,菱形也不是通常的“60°菱形”,而是一种叫做 Golden Rhombus 的菱形(黄金菱形),这种菱形的对角线长度之比刚好是黄金比例。通过在正二十面体的每个面上
        构造一个“尖”,制作出整个菱形六十面体。
        菱形六十面体的构造方法:
        i. 构造两个点A(0,0,0)B(0,2,0)。
        ii. 在指令栏输入:正二十面体[A,B]。
        iii. 过正二十面体的一个面上的三条棱及它们的对棱,分别做三个平面,如图4.5.2 。
       
                
        
                                                                              
           图4.5.6
       
        4.6截角二十面体的构造
        截角二十面体的构造方法:
        i. 构造两个点A(0,0,0)B(0,3,0)(棱长为3便于之后的构造)
        ii. 在指令栏输入:正二十面体[A,B]
        iii. 选取一个顶点,在这个顶点上构造一个以顶点为圆心,半径为1的球。做出球面
        与棱的交点。因为之前已经将棱长设置为3,所以所得的交点即为每条棱的三等分点。其余十九个顶点如法炮制。
        iv. 与之前的构造相似,在每个角截出一个正五边形。用线断连接相邻棱上的三等分
        点,如图4.6.1 。
        
                
                                                  图4.6.2
        5. 总结
        本文主要介绍使用软件GeoGebra绘制多面体的方法。通过实例,用软件实现动态旋转的正多面体、截角多面体、截半多面体、彩球二十面体、五重四面体、开普勒-庞索多面体、Spikey多面体图形、菱形六十面体、截角二十面体的构造,由浅入深,由简单到复杂,展现多面体构造过程和GeoGebra软件在数学学习过程中使用的便利。
       
       
       
       
        参考文献
        [1] Geogebra[OL]. http://www.baike.com/wiki/geogebra, 2018.9.1
        [2] 5个柏拉图体和13个阿基米德多面体的图形[OL].
        http://www.360doc.com/content/17/0715/22/17799864_671617816.shtml. 2018.9.1
        [3]简单常用的多面体[OL]. https://wenku.baidu.com/view/3275784cce2f0066f433220e.html?from=search. 2018.9.1
        [4]多面体[OL]. http://elite.tut.edu.tw/~d04040173/repository/fetch/多面體.pdf. 2018.9.3