第三个优美不等式的推广

http://www.chinaqking.com 期刊门户-中国期刊网2018/4/20来源:《中小学教育》2018年第316期文/黄建德
[导读]安振平老师在文中提出了26个优美不等式,引起了众多不等式爱好者的广泛关注。

福建省福清第三中学 350300
        摘 要:本文从安振平老师的26个不等式文中提出第3个不等式进行求证推广,将具体的证明过程进行了具体的分析,以能够在今后的教学中作为同仁的借鉴。
        关键词:不等式 优美 证明 推广
        安振平老师在文中提出了26个优美不等式,引起了众多不等式爱好者的广泛关注。本文拟对第三个优美不等式做一些研讨。
        不等式(3): 设a,b,c∈R+求证:
     +     +     ≥a+b+c  ①
利用权方和不等式,华中师范大学的杨春波与程汉波两位老师在其博客(http://blog.sina.com.cn/ccnu0907)上贴出了式①的一个证明,此处笔者拟给出式①的推广。
推广:设a,b,c∈R+,n∈N+,n≥2,则
     +     +     ≥an-1+bn-1+cn-1②
证明:当n=2,即式①已证成立。当n=3,由柯西不等式得(∑a b2-bc+c2)∑     ≥(a2+b2+c2)2,
∑     =∑ a· a(b2-bc+c2)≥
 ∑a·∑a(b2-bc+c2),
则∑     ≥       ≥        ,从而只需证明         ≥a2+b2+c2,
等价于证明(a2+b2+c2)2-∑a·∑a(b2-bc+c2)≥0,等价于∑a2(a-b)(a-c)≥0,由Schur不等式[(设a,b,c≥0,r∈R,则∑ar(a-b)(a-c)≥0)]得其成立。
当n≥4,式②∑[       ·       ]≥1。记f(x)=  (x>0),可求f″(x)= x-5/2>0,由Jensen不等式得∑[       ·       ]
=∑[      ·f(a-2(b2-bc+c2))]
≥f(∑         )=f(        ),
则只需证明f(        )≥1,
即证f(        )≥f(1),注意到f(x)关于x在其定义域内单调递减,则只需证        ≤1,或证∑an-1+∑an-3≥∑an-3(b2+c2)  ③
由Schur不等式得∑an-3(a-b)(a-c)≥0,展开得∑an-1+∑an-3bc≥∑an-2(b+c),则要证式③,只需证明∑an-2(b+c)≥∑an-3(b2+c2) ④
当n=4,式④等价于∑a(a-b)(a-c)≥0,显然成立。当n≥5,由式④的对称性,不妨设a≥b≥c。记g(a)=∑an-2(b+c)-∑an-3(b2+c2),
则g`(a)=(n-2)an-3(b+c)+bn-2+cn-2-(n-3)an-4(b2+c2)-2a(bn-3+cn-3)
=(n-3)an-4(ab+ac-b2-c2)+(an-3b+bn-2-2abn-3)+(an-3c+cn-2-2acn-3)
≥0+2( an-3bn-1-abn-3)+2( an-3cn-1-acn-3)≥0,
从而g(a)≥g(b)=2(bn-2c+cn-2b-bn-3c2-cn-3b2)=2bc(bn-4-cn-4)(b-c)≥0,式④成立。
        综上,式②成立。
参考文献
[1]安振平 二十六个优美不等式[J].中学数学教学参考(上),2010,(1-2),136,143。
[2]姚勇 陈胜利 用Schur分拆方法证明不等式竞赛题[J].中等数学,2007,(12),6-10。